《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 函数的单调性
(1) 单调函数的定义

(2) 单调区间的定义
如果函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ D $ 上 单调递增 或 单调递减，那么就说函数 $ y = f(x) $ 在这一区间具有(严格的)单调性， 区间$D$ 叫做 $ y = f(x) $ 的单调区间。

答案： 1.
(1)$f(x_1)\lt f(x_2)$ $f(x_1)\gt f(x_2)$
(2)单调递增 单调递减 区间$D$

2. 函数的最值

答案： 2.$f(x)\leq M$ $f(x_0)=M$ $f(x)\geq M$ $f(x_0)=M$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 对于函数 $ y = f(x) $，若 $ f(1) ＜ f(3) $，则 $ f(x) $ 为增函数。 (×)
(2) 函数 $ y = f(x) $ 在 $[1, +\infty)$ 上是增函数，则函数的单调递增区间是 $[1, +\infty)$。 (×)
(3) 函数 $ y = \frac{1}{x} $ 的单调递减区间是 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$。 (×)
(4) 对于函数 $ f(x) $，$ x \in D $，若对任意 $ x_1, x_2 \in D $，且 $ x_1 \neq x_2 $ 有 $(x_1 - x_2)[f(x_1) - f(x_2)] ＞ 0$，则函数 $ f(x) $ 在区间 $ D $ 上是增函数。 (√)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√ [
(1)错误，应对任意的$x_1\lt x_2$，都有$f(x_1)\lt f(x_2)$成立才可以.
(2)错误，反例：$f(x)=x$在$[1,+\infty)$上为增函数，但$f(x)=x$的单调递增区间是$(-\infty,+\infty)$.
(3)错误，此单调区间不能用“$\cup$”连接，故单调递减区间为$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$.]

2. (人教 A 必修一 P86T7 改编)函数 $ f(x) = \sqrt{x^2 - 2x} $ 的单调递增区间是 $[2,+\infty)$。

答案： 2.$[2,+\infty)$ 由题意可知$x^2 - 2x\geq0$，解得$x\leq0$或$x\geq2$，所以函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0]\cup[2,+\infty)$，设$y = \sqrt{u}$，$u = x^2 - 2x$，二次函数$u = x^2 - 2x$的单调递增区间是$(1,+\infty)$，单调递减区间是$(-\infty,1)$，所以$f(x)$的单调递增区间是$[2,+\infty)$。

3. (人教 B 必修一 P140T2(1)改编)函数 $ f(x) = \frac{4}{x^2} $ ($ x \in [-2, -1] $)，则 $ f(x) $ 的最小值为 1，最大值为 4。

答案： 3.1 4 [由于$f(x)=\frac{4}{x^2}$在[-2,-1]上单调递增，故f(x)的最大值为f(-1)=4，最小值为f(-2)=1.]

4. (苏教必修一 P122T4 改编)函数 $ y = f(x) $ 是定义在 $[-2, 2]$ 上的减函数，且 $ f(a + 1) ＜ f(2a) $，则实数 $ a $ 的取值范围是 $[-1,1)$。

答案： 4.[-1,1) [由条件知$\begin{cases}-2\leq a + 1\leq 2,\\-2\leq 2a\leq 2,\\a + 1\gt 2a,\end{cases}$解得$-1\leq a\lt1.]$