《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点一 幂函数
例 1 (1)(2025·青岛质检)如图所示是函数 $ y = x ^ { \frac { m } { n } } ( m, n \in \mathbf { N } ^ { * } $ 且互质 ) 的图象，则 （_）


A.$ m, n $ 是奇数，且 $ \frac { m } { n } ＜ 1 $
B.$ m $ 是偶数，$ n $ 是奇数，且 $ \frac { m } { n } ＜ 1 $
C.$ m $ 是偶数，$ n $ 是奇数，且 $ \frac { m } { n } ＞ 1 $
D.$ m $ 是奇数，$ n $ 是偶数，且 $ \frac { m } { n } ＞ 1 $

答案： 例1
(1)B [
(1)由图象可知$y=x^{\frac{m}{n}}$为偶函数，且在$(0,+\infty)$上单调递增，结合题图在$(0,+\infty)$上的增长趋势可知，$\frac{m}{n}\in(0,1)$且$m$为偶数，又$m,n\in N^{*}$且互质，故$n$是奇数.故选B]

(2)(2025·郑州模拟)已知 $ a = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { \frac { 4 } { 3 } } $，$ b = \left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } $，$ c = \left( \frac { 1 } { 25 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } $，则 $ a, b, c $ 的大小关系为 （_）

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ c ＜ a ＜ b $
C.$ a ＞ b ＞ c $
D. b ＜ c ＜ aB

答案：
(2)B [
(2)由$a=\left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { \frac { 4 } { 3 } }$，$b=\left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } }$，$c=\left( \frac { 1 } { 25 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } }$，则$a=\left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } }$，$b=\left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } }$，$c=\left( \frac { 1 } { 5 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } }$，因为幂函数$y=x^{\frac{2}{3}}$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，且$\frac{1}{5}＜\frac{1}{4}＜\frac{1}{3}$，所以$\left( \frac { 1 } { 5 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } }＜\left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } }＜\left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } }$，即$c＜a＜b$.故选B.]

(1)(2025·湖北名校联考)已知幂函数 $ f ( x ) = x ^ { m ^ { 2 } + 2 m - 3 } ( m \in \mathbf { Z } ) $ 是偶函数，且 $ f ( x ) $ 在 $ ( - \infty, 0 ) $ 上单调递增，则 $ m = $ （_）

A.$ - 2 $
B.$ - 1 $
C.$ 0 $
D.$ 3 $

答案： 训练1
(1)B [
(1)因为函数$f(x)$是偶函数，且在$(-\infty,0)$上单调递增，所以函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，所以$m^{2}+2m - 3＜0$，即$(m - 1)(m + 3)＜0$，解得$-3＜m＜1$，又因为$m\in Z$，所以$m = -2$或$m = -1$或$m = 0$.当$m = 0$或$m = -2$时，$f(x)=x^{-3}$，此时$f(x)$为奇函数，不满足题意；当$m = -1$时，$f(x)=x^{-4}$，此时$f(x)$为偶函数，满足题意，所以$m = -1$.]

(2)(2024·南充二诊)已知函数 $ f ( x ) $ 的图象如图所示，则 $ f ( x ) $ 的解析式可能是 （_）


A.$ y = x ^ { \frac { 1 } { 2 } } $
B.$ y = x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } $
C.$ y = x ^ { 3 } $
D.$ y = x ^ { \frac { 1 } { 3 } } $

答案：
(2)D [
(2)对于A，函数$y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$的定义域为$[0,+\infty)$，显然不符合题意，故A错误；对于B，函数$y=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$的定义域为$(0,+\infty)$，显然不符合题意，故B错误；对于C，函数$y=x^{3}$的定义域为R，又$y=x^{3}$为奇函数，且在$(0,+\infty)$上函数$y=x^{3}$的图象下凸递增，故不符合题意，故C错误；对于D，函数$y=x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$的定义域为R，又$y=x^{\frac{1}{3}}$为奇函数，且在$(0,+\infty)$上函数$y=x^{\frac{1}{3}}$的图象上凸递增，故D正确.]

考点二 几类特殊函数
角度 1 一次分式函数
例 2 已知函数 $ f ( x ) = \frac { a x + 2 - a } { x + 1 } $，其中 $ a \in \mathbf { R } $。
(1)当函数 $ f ( x ) $ 的图象关于点 $ P ( - 1, 3 ) $ 成中心对称时，求 $ a $ 的值；
(2)若函数 $ f ( x ) $ 在 $ ( - 1, + \infty ) $ 上单调递减，求 $ a $ 的取值范围。

答案： 例2解　
(1)$f(x)=\frac{ax + 2 - a}{x + 1}=a+\frac{2 - 2a}{x + 1}$，所以$f(x)$的对称中心为点$(-1,a)$，由题意得$a = 3$.
(2)由$f(x)=\frac{ax + 2 - a}{x + 1}$知直线$x = -1$为$f(x)$的一条渐近线，又由一次分式函数的性质知，当且仅当$1×(2 - a)＞1× a$，即$a＜1$时，$f(x)$在$(-1,+\infty)$上单调递减，故$a$的取值范围是$(-\infty,1)$.