《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 1 (1)设 $ a = 0.6^{0.3} $，$ b = 0.3^{0.3} $，$ c = 0.3^{0.6} $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为 (D)

A.$ b ＜ a ＜ c $
B.$ b ＜ c ＜ a $
C.$ a ＜ b ＜ c $
D.$ c ＜ b ＜ a $

答案：
(1)D [
(1)因为指数函数$y = 0.3^{x}$在R上为单调递减函数，所以$0.3^{0.3} ＞ 0.3^{0.6}$，即$b ＞ c$，又幂函数$y = x^{0.3}$在$[0, +\infty)$上为增函数，所以$0.6^{0.3} ＞ 0.3^{0.3}$，即$a ＞ b$，所以$a ＞ b ＞ c$。

(2)(2024·滁州三模)若 $ a = \log_{3}7 $，$ b = \log_{9}40 $，$ c = \sqrt{4.05} $，则 (D)

A.$ c ＜ a ＜ b $
B.$ b ＜ c ＜ a $
C.$ a ＜ b ＜ c $
D.$ b ＜ a ＜ c$$$

答案：
(2)D [
(2)依题意，$a = \log_{7}7 = \log_{7}49$，故$a ＞ b$；而$a ＜ \log_{3}9 = 2 ＜ c$，故$b ＜ a ＜ c$，故选D.]

训练 1 (1)(2025·广州模拟)已知 $ a = (\frac{1}{2})^{-1.1} $，$ b = 4^{0.6} $，$ c = \log_{3}8 $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为 (C)

A.$ a ＜ c ＜ b $
B.$ b ＜ c ＜ a $
C.$ c ＜ a ＜ b $
D.$ c ＜ b ＜ a $

答案：
(1)C [
(1)由于$a = (\frac{1}{2})^{-1.1} = 2^{1.1} ＞ 2$，$b = 4^{0.6} = 2^{1.2} ＞ 2^{1.1} = a ＞ 2$，$c = \log_{3}8 ＜ \log_{3}9 = 2$，所以$c ＜ a ＜ b$。

(2)(2025·北京延庆模拟)设 $ a = \log_{3}2 $，$ b = \log_{9}6 $，$ c = \frac{1}{2} $，则 (D)

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ c ＞ b ＞ a $
C.$ b ＞ c ＞ a $
D.$ b ＞ a ＞ c $

答案：
(2)D [
(2)因为$b = \log_{9}6 = \log_{3^{2}}(\sqrt{6})^{2} = \log_{3}\sqrt{6}$，且$c = \frac{1}{2} = \log_{3}\sqrt{3}$，又$\sqrt{3} ＜ \sqrt{6}$，函数$y = \log_{3}x$在$(0, +\infty)$上单调递增，则$\log_{3}\sqrt{3} ＜ \log_{3}2 ＜ \log_{3}\sqrt{6}$，所以$c ＜ a ＜ b$。

1. 教材母题（人教 A 必修一 P43T10）已知 $ b $ 克糖水中含有 $ a $ 克糖（$ b ＞ a ＞ 0 $），再添加 $ m $ 克糖（$ m ＞ 0 $）（假设全部溶解），糖水变甜了。请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立。
本题得到的不等式称为糖水不等式：
①设 $ b ＞ a ＞ 0 $，$ m ＞ 0 $，则有 $ \dfrac{a}{b} ＜ \dfrac{a + m}{b + m} $。
②糖水不等式的倒数形式：设 $ a ＞ b ＞ 0 $，$ m ＞ 0 $，则有 $ \dfrac{a}{b} ＞ \dfrac{a + m}{b + m} $。

答案： 1. 不等式为$\frac{a}{b} ＜ \frac{a + m}{b + m}$。证明：$\frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b} = \frac{b(a + m) - a(b + m)}{b(b + m)} = \frac{(b - a)m}{b(b + m)}$，因为$b ＞ a ＞ 0$，$m ＞ 0$，所以$(b - a)m ＞ 0$，$b(b + m) ＞ 0$，所以$\frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b} ＞ 0$，即$\frac{a}{b} ＜ \frac{a + m}{b + m}$。

典例
已知 $ a = 3\log_{8}3 $，$ b = -\dfrac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}}16 $，$ c = \log_{4}5 $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为(A)

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ c ＞ a ＞ b $
C.$ a ＞ c ＞ b $
D.$ c ＞ b ＞ a$$$

答案： 典例A [法二 $a = 3\log_{8}3 = \log_{8}27 = \log_{2}3 $，$ b = -\dfrac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}}16 = \dfrac{1}{2}\log_{3}16 = \log_{3}4 $，$ c = \log_{4}5 $，利用对数型糖水不等式得$\log_{2}3 ＞ \log_{3}4 ＞ \log_{4}5 $，即$a ＞ b ＞ c$.]