《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点三 函数零点的应用
角度 1 根据零点个数求参数范围
例 3 (2025·北京朝阳区质检) 设函数 $ f(x) = x + \frac{m}{x - 2}(m \in \mathbf{R}) $，则“$-3 ＜ m \leq 0$”是“$ f(x) $ 在区间 $(-1, 2)$ 内有且仅有一个零点”的 (A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案：
例3A [法一　由函数$f(x)=x+\frac{m}{x-2}(m∈R)$的定义域为(-1,2)，显然m=0时，函数在区间(-1,2)内有且仅有一个零点.　令f(x)=0，可得$x+\frac{m}{x-2}=0，$即$x^{2}-2x+m=0，$且曲线$y=x^{2}-2x+m$是开口向上的抛物线，其图象关于直线x=1对称.　设$g(x)=x^{2}-2x+m，$x∈(-1,2)，要使得函数y=g(x)在区间(-1,2)上只有一个零点，则满足$Δ=(-2)^{2}-4m=0$或$\begin{cases}g(-1)=3+m＞0,\\g(2)=m$＜0,\end{cases}解得m=1或-3＜m＜0，即函数y=f(x)在区间(-1,2)上只有一个零点时，m∈(-3,0]∪{1}，所以“-3＜m≤0”是“f(x)在区间(-1,2)内有且仅有一个零点”的充分不必要条件.　法二　令f(x)=0，则x+\frac{m}{x-2}=0，即m=-x(x-2)，x∈(-1,2).f(x)在(-1,2)内有且仅有一个零点，即直线y=m与函数y=-x(x-2)，x∈(-1,2)的图象有且仅有一个交点.画出函数y=-x(x-2)，x∈(-1,2)的大致图象，如图所示由图象可知，-3＜m≤0或m=1，所以“-3＜m≤0”是“f(x)在区间(-1,2)内有且仅有一个零点”的充分不必要条件，故选A.]

角度 2 根据零点范围求参数范围
例 4 已知函数 $ f(x) = 3^x - \frac{1 + ax}{x} $. 若存在 $ x_0 \in (-\infty, -1) $，使得 $ f(x_0) = 0 $，则实数 $ a $ 的取值范围是 (B)

A.$(-\infty, \frac{4}{3})$
B.$(0, \frac{4}{3})$
C.$(-\infty, 0)$
D.$(\frac{4}{3}, +\infty)$

答案： 例4B [由$f(x)=3^{x}-\frac{1+ax}{x}=0，$可得$a=3^{x}-\frac{1}{x}，$令$g(x)=3^{x}-\frac{1}{x}，$其中x∈(-∞,-1)，由于存在$x_{0}∈(-∞,-1)，$使得$f(x_{0})=0，$则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域.由于函数$y=3^{x}，$$y=-\frac{1}{x}$在区间(-∞,-1)上均单调递增，所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增.当x∈(-∞,-1)时，$g(x)=3^{x}-\frac{1}{x}$＜g(-1)=3^{-1}+1=\frac{4}{3}，又g(x)=3^{x}-\frac{1}{x}＞0，所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为$(0,\frac{4}{3}).$因此，实数a的取值范围是$(0,\frac{4}{3}).]$

(1) (2025·榆林模拟) 已知函数 $ f(x) = (x^2 - 4x + m)(4^{\frac{x}{3}} - m - 1) $ 恰有 3 个零点，则整数 $ m $ 的取值个数是 (B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
训练3
(1)B [
(1)令$f(x)=(x^{2}-4x+m)(4^{\frac{x}{3}}-m-1)=0，$得$m=-x^{2}+4x$或$m=4^{\frac{x}{3}}-1.$作出$g(x)=-x^{2}+4x，$$h(x)=4^{\frac{x}{3}}-1$的图象，如图所示，因为$g(x)_{max}=4，$h(x)＞-1，所以由图可知m的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4).故整数m=1或2，即整数m的取值个数为2.]

(2) 函数 $ f(x) = 2a \log_2 x + a \cdot 4^x + 3 $ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 上有零点，则实数 $ a $ 的取值范围是 (D)

A.$ a ＜ -\frac{1}{2} $
B.$ a ＜ -\frac{3}{2} $
C.$ -\frac{3}{2} ＜ a ＜ -\frac{1}{2} $
D.$ a ＜ -\frac{3}{4} $

答案：
(2)D [
(2)当a=0时，f(x)=3，不符合题意；当a＞0时，由于函数$y=2a\log_{3}x，$$y=a·4^{x}+3$在$(\frac{1}{2},1)$上均单调递增，此时函数f(x)在$(\frac{1}{2},1)$上单调递增；当a＜0时，由于函数$y=2a\log_{3}x，$$y=a·4^{x}+3$在$(\frac{1}{2},1)$上均单调递减，此时函数f(x)在$(\frac{1}{2},1)$上单调递减.因为函数f(x)在区间$(\frac{1}{2},1)$上有零点，所以$f(\frac{1}{2})f(1)＜0，$即3(4a+3)＜0，解得$a＜-\frac{3}{4}]$

例 1 (2025·漳州质检)已知函数 $ f(x)=\begin{cases}\ln x-\dfrac{1}{x},x＞0,\\ -|x + 1| + 1,x\leqslant0,\end{cases} $ 则函数 $ g(x)=f(f(x)-1) $ 的零点个数为(B)

A.3
B.5
C.6
D.8

答案：
例1B [依题意,函数$g(x)=f(f(x)-1)$零点的个数,即为方程$f(f(x)-1)=0$根的个数,令$f(x)-1=t$,则$f(t)=0$,
当$t＞0$时,$\ln t-\frac{1}{t}=0$,
令$h(t)=\ln t-\frac{1}{t},t＞0$,
因为函数$y=\ln t,y=-\frac{1}{t}$均在$(0,+\infty)$上单调递增,所以函数$h(t)$在$(0,+\infty)$上单调递增,又$h(1)=-1＜0,h(e)=1-\frac{1}{e}＞0$,
则存在$t_1\in(1,e)$,使得$h(t_1)=0$.
当$t\leq0$时,令$-|t+1|+1=0$,
解得$t=0$或$t=-2$,
作出函数$f(x)=\begin{cases}\ln x-\frac{1}{x},&x＞0\\-|x+1|+1,&x\leq0\end{cases}$的大致图象，如图

又$f(x)-1=t$,
则$f(x)=t+1$.
当$t=0$时,$f(x)=1$,
由$y=f(x)$的图象知,方程$f(x)=1$有2个根;
当$t=-2$时,$f(x)=-1$,由$y=f(x)$的图象知,方程$f(x)=-1$有2个根;
当$t=t_1,t_1\in(1,e)$时,$f(x)=t_1+1\in(2,e+1)$,
由$y=f(x)$的图象知,方程$f(x)=t_1+1$有1个根.综上所述,函数$g(x)=f(f(x)-1)$的零点个数为5.]

二、由嵌套函数零点的情况求参数
例 2 (2025·郑州模拟)已知函数 $ f(x)=\begin{cases}x + 1,x\leqslant0,\\ \left|x-\dfrac{1}{x}\right|,x＞0.\end{cases} $ 若关于 $ x $ 的方程 $ [f(x)]^{2}+(m - 4)f(x)+2(2 - m)=0 $ 有五个不同的实数根，则实数 $ m $ 的取值范围是(C)

A.$[1,3)$
B.$(0,2)$
C.$[1,2)$
D.$(0,1)$

答案：
例2C [设$h(x)=x-\frac{1}{x},x＞0$,
则$h'(x)=1+\frac{1}{x^2}＞0$,
则$h(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增,$h(1)=0$,
作出$f(x)$的大致图象
如图所示
令$t=f(x)$,则$t^2+(m - 4)t+2(2 - m)=0$,

则$t_1=2,t_2=2 - m$.
由图可知,直线$y=2$与$f(x)$的图象有2个交点,所以直线$y=2 - m$与$f(x)$的图象必须有3个交点,则$0＜2 - m\leq1$,解得$1\leq m＜2$.]

训练 (1)已知函数 $ f(x)=\begin{cases}e^{x},x＜0,\\ 4x^{3}-6x^{2}+1,x\geqslant0,\end{cases} $ 其中 $ e $ 为自然对数的底数，则函数 $ g(x)=3[f(x)]^{2}-10f(x)+3 $ 的零点个数为(A)

A.4
B.5
C.6
D.3

答案： 训练
(1)A [
(1)当$x\geq0$时,
$f(x)=4x^3 - 6x^2+1$的导数为$f'(x)=12x^2 - 12x$,
当$0＜x＜1$时,$f'(x)＜0,f(x)$单调递减;
当$x＞1$时,$f'(x)＞0,f(x)$单调递增,
可得$f(x)$在$x=1$处取得最小值,最小值为$-1$,且$f(0)=1$,
作出函数$f(x)$的图象,
$g(x)=3[f(x)]^2 - 10f(x)+3$.
可令$g(t)=0$,
$t=f(x)$,
可得$3t^2 - 10t+3=0$,
解得$t=3$或$t=\frac{1}{3}$,
当$t=\frac{1}{3}$,即$f(x)=\frac{1}{3}$时,$g(x)$有三个零点;
当$t=3$时,可得$f(x)=3$有一个实根,
即$g(x)$有一个零点,
综上,$g(x)$共有四个零点.]

(2)函数 $ f(x)=\begin{cases}\ln(-x - 1),x＜-1,\\ 2x + 1,x\geqslant-1,\end{cases} $ 若函数 $ g(x)=f(f(x))-a $ 有三个不同的零点，则实数 $ a $ 的取值范围是$[-1,+\infty)$。

答案：

(2)设$t=f(x)$,
令$f(f(x)) - a=0$,
则$a=f(t)$.在同一坐标系内作$y=a,y=f(t)$的图象,

当$a\geq - 1$时,$y=a$与$y=f(t)$的图象有两个交点.
设交点的横坐标为$t_1,t_2$(不妨设$t_2＞t_1$),
则$t_1＜-1,t_2\geq - 1$.
当$t_1＜-1$时,$t_1=f(x)$有一解;
当$t_2\geq - 1$时,$t_2=f(x)$有两解.
综上,当$a\geq - 1$时,函数$g(x)=f(f(x)) - a$有三个不同的零点.]