《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

训练 2 (1)(2023·全国乙卷)已知函数 $ f(x) = \sin(\omega x + \varphi) $ 在区间 $ (\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}) $ 单调递增，直线 $ x = \frac{\pi}{6} $ 和 $ x = \frac{2\pi}{3} $ 为函数 $ y = f(x) $ 的图象的两条相邻对称轴，则 $ f(-\frac{5\pi}{12}) = $ (D)

A.$ -\frac{\sqrt{3}}{2} $
B.$ -\frac{1}{2} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $

答案： 训练2
(1)D [
(1)由题意得$\frac{1}{2} × \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}$,解得$\omega = 2$,
易知$x = \frac{\pi}{6}$是$f(x)$的最小值点,
所以$\frac{\pi}{6} × 2 + \varphi = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi(k \in \mathbf{Z})$,
得$\varphi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi(k \in \mathbf{Z})$,
于是$f(x) = \sin(2x + \frac{7\pi}{6} + 2k\pi)$
$= \sin(2x + \frac{7\pi}{6})$,
$f(-\frac{5\pi}{12}) = \sin(-\frac{5\pi}{12} × 2 + \frac{7\pi}{6})$
$= \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(2)(2025·北京延庆区调研)函数 $ f(x) = A\sin(\omega x + \varphi) $ 的部分图象如图所示，其中 $ A ＞ 0, \omega ＞ 0, |\varphi| ＜ \pi $，则 $ f(x) $ 的解析式为 $f(x) = 2\sin(2x - \frac{\pi}{3})$.

答案：
(2)$f(x) = 2\sin(2x - \frac{\pi}{3})$
[
(2)由题图可知$A = 2$,因为$f(x)$的$\frac{3}{4}$个最小正周期$\frac{3}{4}T = \frac{5\pi}{12} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{3\pi}{4}$,
所以$T = \pi$,则$\frac{2\pi}{T} = 2$,
根据“五点法”,令$2 × \frac{5\pi}{12} + \varphi = \frac{\pi}{2}$,
解得$\varphi = -\frac{\pi}{3}$,符合$|\varphi| ＜ \pi$,
所以$f(x) = 2\sin(2x - \frac{\pi}{3})$.]

考点三 三角函数图象、性质的综合应用
角度 1 图象与性质的综合应用
例 3 （2025·重庆质检）设函数 $ f(x) = \cos \omega x \cdot \sin(\omega x + \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{4}(\omega ＞ 0) $，且函数 $ f(x) $ 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 $ \frac{\pi}{2} $.
(1) 若 $ x \in [0, \frac{\pi}{2}] $，求 $ f(x) $ 的值域；
(2) 把函数 $ f(x) $ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $ \frac{1}{2} $（纵坐标不变），再将所得图象向左平移 $ \frac{\pi}{6} $ 个单位长度，得到函数 $ g(x) $ 的图象，讨论函数 $ g(x) $ 的单调性.

答案： 例3 解
(1)$f(x) = \cos\omega x\sin(\omega x + \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{4}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\omega x\sin\omega x + \frac{1}{2}\cos^{2}\omega x - \frac{1}{4}$
$= \frac{\sqrt{3}}{4}\sin 2\omega x + \frac{1}{4}\cos 2\omega x$
$= \frac{1}{2}\sin(2\omega x + \frac{\pi}{6})$,
由题意得$\frac{T}{2} = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$,又$T = \frac{2\pi}{2\omega},\omega ＞ 0$,
$\therefore \omega = 1$,则$f(x) = \frac{1}{2}\sin(2x + \frac{\pi}{6})$.
若$x \in [0,\frac{\pi}{2}]$,则$2x + \frac{\pi}{6} \in [\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}]$,
$\therefore f(x) \in [-\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$.
(2)由题意得$g(x) = \frac{1}{2}\sin(4x + \frac{5\pi}{6})$,
由$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 4x + \frac{5\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi(k \in \mathbf{Z})$,
得$-\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}k\pi \leq x \leq -\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}k\pi(k \in \mathbf{Z})$;
由$\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 4x + \frac{5\pi}{6} \leq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi(k \in \mathbf{Z})$,
得$-\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}k\pi(k \in \mathbf{Z})$.
$\therefore g(x)$在$[-\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}k\pi,-\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}k\pi](k \in \mathbf{Z})$上单调递增,
在$[-\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}k\pi,\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}k\pi](k \in \mathbf{Z})$上单调递减.

角度 2 三角函数的零点（方程的根）问题
例 4 已知函数 $ f(x) = 2\sin(2x - \frac{\pi}{6}) $，且关于 $ x $ 的方程 $ f(x) = t(t \in \mathbf{R}) $ 在区间 $ [0, \frac{\pi}{2}] $ 上有唯一解，则 $ t $ 的取值范围是 ________.
思维建模 1. 研究 $ y = A\sin(\omega x + \varphi) $ 的性质时可将 $ \omega x + \varphi $ 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等.
2. 方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.

答案：
例4 $[-1,1)\cup \{2\}$ [因为$x \in [0,\frac{\pi}{2}]$,
所以$2x - \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]$,
所以$2\sin(2x - \frac{\pi}{6}) \in [-1,2]$且当$x = \frac{\pi}{2}$时,
$f(\frac{\pi}{2}) = 1$,
所以其函数图象如图所示.

因为$y = f(x)$与$y = t$只有一个交点,即关于$x$的方程$f(x) = t(t \in \mathbf{R})$在区间$[0,\frac{\pi}{2}]$上有唯一解,
结合函数图象可知$-1 \leq t ＜ 1$或$t = 2$.]

训练 3(多选)(2024·蚌埠质检)已知函数 $ f(x) = \cos(\omega x + \varphi)(\omega ＞ 0, -\frac{\pi}{2} ＜ \varphi ＜ \frac{\pi}{2}) $，将 $ y = f(x) $ 的图象上所有点向右平移 $ \frac{\pi}{3} $ 个单位长度，然后横坐标伸长为原来的 $ 2 $ 倍，纵坐标不变，得到函数 $ y = g(x) $ 的图象. 若 $ g(x) $ 为奇函数，且最小正周期为 $ \pi $，则下列说法正确的是(ACD)

A.函数 $ f(x) $ 的图象关于点 $ (\frac{\pi}{6}, 0) $ 中心对称
B.函数 $ f(x) $ 在区间 $ (0, \frac{\pi}{4}) $ 上单调递减
C.不等式 $ g(x) \geq \frac{1}{2} $ 的解集为 $ [k\pi - \frac{5\pi}{12}, k\pi - \frac{\pi}{12}](k \in \mathbf{Z}) $
D.方程 $ f(\frac{x}{2}) = g(x) $ 在 $ (0, \pi) $ 上有 $ 2 $ 个解

答案：
训练3 ACD [根据题意可得$g(x) = \cos(\frac{\omega}{2}x + \varphi - \frac{\omega}{3}\pi)$,
因为$g(x)$的最小正周期为$\pi$,所以$\frac{2\pi}{\frac{\omega}{2}} = \pi$,
因为$\omega ＞ 0$,所以$\omega = 4$,
即$g(x) = \cos(2x + \varphi - \frac{4\pi}{3})$,
又$g(x)$为奇函数,
所以$\varphi - \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi,k \in \mathbf{Z}$,
解得$\varphi = \frac{11\pi}{6} + k\pi,k \in \mathbf{Z}$,
又$-\frac{\pi}{2} ＜ \varphi ＜ \frac{\pi}{2}$,
所以当$k = -2$时,$\varphi = -\frac{\pi}{6}$,
所以$g(x) = \cos(2x - \frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{3}) = -\sin 2x$,
$f(x) = \cos(4x - \frac{\pi}{6})$.
对于A,当$x = \frac{\pi}{6}$时,
$f(\frac{\pi}{6}) = \cos(4 × \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) = 0$,
所以点$(\frac{\pi}{6},0)$是$f(x)$图象的一个对称中心,
故A正确;
对于B,令$2k\pi \leq 4x - \frac{\pi}{6} \leq \pi + 2k\pi,k \in \mathbf{Z}$,
解得$\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \leq x \leq \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2},k \in \mathbf{Z}$.
易知$(0,\frac{\pi}{4})$不是$[\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2},\frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}],k \in \mathbf{Z}$
的子集,故B错误;
对于C,$g(x) \geq \frac{1}{2}$,即$-\sin 2x \geq \frac{1}{2}$,
得$\sin 2x \leq -\frac{1}{2}$,
则$-\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \leq 2x \leq -\frac{\pi}{6} + 2k\pi,k \in \mathbf{Z}$,
解得$k\pi - \frac{5\pi}{12} \leq x \leq k\pi - \frac{\pi}{12},k \in \mathbf{Z}$,故C正确;
对于D,在同一直角坐标系中分别画出$y_1 = f(\frac{x}{2}) = \cos(2x - \frac{\pi}{6})$与$y_2 = g(x) =$
$-\sin 2x$在$[0,\pi]$上的图象,如图所示,

通过图象可知,两函数图象在$(0,\pi)$上共有$2$个交点,故D正确.]