《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 1 已知函数 $ f(x) = x^2 - 2x - 3 $，$ g(x) = f(5 - x^2) $，试求 $ g(x) $ 的单调区间.$(-\infty,-2]$，$[0,2]$$[-2,0]$，$[2,+\infty)$
二、由复合函数的单调性求参数

答案： 微点突破 例1解：令$u(x)=5 - x^{2}$，则$u(x)$在$(-\infty,0]$上单调递增，在$[0,+\infty)$上单调递减，且$u(0)=5$。$f(x)=x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$在$(-\infty,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增。即$u(x)$的单调性是以“0”为界来划分的，$f(x)$的单调性是以“1”为界来划分的，由此可确定$g(x)$的单调性。令$5 - x^{2}=1$，则$x=\pm2$。$\begin{matrix}x&(-\infty,-2]&[-2,0]&[0,2]&[2,+\infty)\\u(x)=5-x^{2}&增&增&减&减\\u&(-\infty,1]&[1,5]&[1,5]&(-\infty,1]\\f(u)&减&增&增&减\\f(5-x^{2})&减&增&减&增\end{matrix}$所以函数$g(x)$的单调递减区间是$(-\infty,-2]$，$[0,2]$，单调递增区间是$[-2,0]$，$[2,+\infty)$。

例 2 设 $ f(x) = x^2 + 1 $，$ g(x) = f(f(x)) $，$ F(x) = g(x) - \lambda f(x) $. 问是否存在实数 $ \lambda $，使 $ F(x) $ 在区间 $ \left( -\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) $ 上单调递减且在区间 $ \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0 \right) $ 上单调递增？若存在，求出 $ \lambda $ 的值；若不存在，请说明理由.3

答案： 例2解：假设存在满足条件的实数$\lambda$，则由$f(x)=x^{2}+1$，$g(x)=f(f(x))$，得$g(x)=(x^{2}+1)^{2}+1$。$\therefore F(x)=g(x)-\lambda f(x)=x^{4}+(2 - \lambda)x^{2}+2 - \lambda$。令$t = x^{2}$，则$t = x^{2}$在$(-\infty,0)$上单调递减，且当$x\in\left(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$时，$t＞\frac{1}{2}$；当$x\in\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$时，$0＜t＜\frac{1}{2}$。故若$F(x)$在$\left(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$上单调递减，在$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$上单调递增，则函数$\varphi(t)=t^{2}+(2 - \lambda)t+2 - \lambda$在$\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$上单调递增，在$\left(0,\frac{1}{2}\right)$上单调递减。$\therefore$函数$\varphi(t)=t^{2}+(2 - \lambda)t+2 - \lambda$的图象的对称轴$t=\frac{\lambda - 2}{2}$为直线$t=\frac{1}{2}$，即$\frac{\lambda - 2}{2}=\frac{1}{2}$，则$\lambda = 3$。故存在满足条件的实数$\lambda(\lambda = 3)$，使$F(x)$在区间$\left(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$上单调递减且在区间$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$上单调递增。

(1) 已知函数 $ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上是增函数，则下列说法正确的是(A)

A.$ y = -f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上是减函数
B.$ y = \frac{1}{f(x)} $ 在 $ \mathbf{R} $ 上是减函数
C.$ y = [f(x)]^2 $ 在 $ \mathbf{R} $ 上是增函数
D.$ y = af(x) $($ a $ 为实数)在 $ \mathbf{R} $ 上是增函数

答案：
(1)A [
(1)A中，$\because$函数$f(x)$在$R$上是增函数，$\therefore y=-f(x)$在$R$上是减函数，故A正确。B中，函数$f(x)$在$R$上是增函数，但$y=\frac{1}{f(x)}$在$R$上不一定是减函数，如$f(x)=x$在$R$上是增函数，但$y=\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{x}$在$R$上不是减函数，故排除B。C中，函数$f(x)$在$R$上是增函数，但$y=[f(x)]^{2}$在$R$上不一定是增函数，如$f(x)=x$在$R$上是增函数，但$y=[f(x)]^{2}=x^{2}$在$R$上不是增函数，故排除C。D中，函数$f(x)$在$R$上是增函数，但$y = af(x)$（$a$为实数）在$R$上不一定是增函数，例如$f(x)=x$在$R$上是增函数，但$f(x)=-2x$在$R$上不是增函数，故排除D。]

(2) 已知函数 $ f(x) $ 是 $ \mathbf{R} $ 上的减函数，若 $ f(ax^2 - 2x) $ 在 $ (1, +\infty) $ 上是增函数，则实数 $ a $ 的取值范围是$(-\infty,0]$.

答案：
(2)$(-\infty,0]$ [
(2)由题意知函数$y = ax^{2}-2x$在$(1,+\infty)$上单调递减，故$\begin{cases}a ＜ 0\frac{1}{a}\leqslant1\end{cases}$，解得$a\leqslant0$。]