《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$，$O$是平面上的任意一点，作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，则$\angle AOB=\theta(0\leqslant\theta\leqslant\pi)$叫做向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$，它们的夹角为$\theta$，我们把数量$|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$叫做向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的数量积(或内积)，记作$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$，即$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$$|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$. 规定：零向量与任一向量的数量积为$0$，即$\boldsymbol{0}\cdot\boldsymbol{a}=0$.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点$O$，作$\overrightarrow{OM}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{ON}=\boldsymbol{b}$，过点$M$作直线$ON$的垂线，垂足为$M_1$，则$\overrightarrow{OM}$就是向量$\boldsymbol{a}$在向量$\boldsymbol{b}$上的投影向量.

设与$\boldsymbol{b}$方向相同的单位向量为$\boldsymbol{e}$，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，则$\overrightarrow{OM_1}$与$\boldsymbol{e}$，$\boldsymbol{a}$，$\theta$之间的关系为$\overrightarrow{OM_1}=|\boldsymbol{a}|\cos\theta\boldsymbol{e}$.

答案： 1.
(2)$|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$ $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$
(3)$\overrightarrow{OM}$

4. 平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

答案： 上述内容为平面几何向量方法的标准步骤总结，无需选择具体选项。

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是$\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$. (×)
(2)向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$(|\boldsymbol{a}|\cos\theta)\dfrac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$. (√)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量. (√)
(4)若$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}(\boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{0})$，则$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$. (×)

答案： 1.
(1)×　
(2)√　
(3)√　
(4)× [
(1)两个向量夹角的范围是$[0,\pi]$.　
(4)由$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}(\mathbf{a}\neq0)$得$|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cdot\cos\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=|\mathbf{a}||\mathbf{c}|\cdot\cos\langle\mathbf{a},\mathbf{c}\rangle$，所以向量$\mathbf{b}$和$\mathbf{c}$不一定相等

2. (人教A必修二P35例11改编)设$\boldsymbol{a}=(5,-7)$，$\boldsymbol{b}=(-6,-4)$，设$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta=$$-\frac{\sqrt{962}}{962}$.

答案： 2.$-\frac{\sqrt{962}}{962}$ $[\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{-30 + 28}{\sqrt{74}×\sqrt{52}}=-\frac{\sqrt{962}}{962}$

3. (苏教必修二P47T12改编)已知$|\boldsymbol{a}| = 3$，$|\boldsymbol{b}| = 4$，且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$不共线，若$(\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}-k\boldsymbol{b})$，则实数$k=$$\pm\frac{3}{4}$.

答案： 3.$\pm\frac{3}{4}$　[由题意知$(\mathbf{a}+k\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}-k\mathbf{b})=\mathbf{a}^{2}-k^{2}\mathbf{b}^{2}=9 - 16k^{2}=0$，解得$k=\pm\frac{3}{4}$

4. (北师大必修二P113练习T2(2)改编)已知$|\boldsymbol{a}| = 6$，$|\boldsymbol{b}| = 4$，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$60^{\circ}$，则$(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})=$84.

答案： 4.84 $[(2\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}+3\mathbf{b})=2|\mathbf{a}|^{2}+5\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-3|\mathbf{b}|^{2}=2×36 + 5×6×4×\frac{1}{2}-3×16 = 84.]$