《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 1 (1) 函数 $ y = \sqrt{x^2 + 2x - 24} $ 的单调递减区间是 $(-\infty,-6]$。

答案： 例1$(-\infty,-6]$ [由题意，要使函数$y = \sqrt{x^2 + 2x - 24}$有意义，需满足$x^2 + 2x - 24\geq0$，解得$x\leq - 6$或$x\geq4$，又由$t = x^2 + 2x - 24$在$(-\infty,-6]$上单调递减，在$[4,+\infty)$上单调递增.]

(2) 试讨论函数 $ f(x) = \frac{ax}{x - 1} $ ($ a \neq 0 $)在 $(-1, 1)$ 上的单调性。

答案： 单调性取决于$a$的正负，当$a＞0$时单调递减；当$a＜0$时单调递增。 (由于本题是讨论题，无需填选项)。

(1) 下列函数在 $ \mathbf{R} $ 上为增函数的是 ()

A.$ y = x^2 $
B.$ y = x $
C.$ y = -\sqrt{x} $
D.$ y = \frac{1}{x} $

答案： B

(2) (2025·西安模拟)已知函数 $ f(x) = |x^2 - 5x + 6| $，则函数 $ f(x) $ 的单调递增区间是 ()

A.$ \left( -\infty, \frac{5}{2} \right) $
B.$ \left( \frac{5}{2}, +\infty \right) $
C.$ \left( 2, \frac{5}{2} \right) $ 和 $ (3, +\infty) $
D.$ (-\infty, 2) $ 和 $ \left( \frac{5}{2}, 3 \right) $

答案： C

例 2 (多选)下列函数中，值域正确的是 ()

A.当 $ x \in [0, 3) $ 时，函数 $ y = x^2 - 2x + 3 $ 的值域为 $[2, 6)$
B.函数 $ y = \frac{2x + 1}{x - 3} $ 的值域为 $ \mathbf{R} $
C.函数 $ y = 2x - \sqrt{x - 1} $ 的值域为 $ \left[ \frac{15}{8}, +\infty \right) $
D.函数 $ y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} $ 的值域为 $[\sqrt{2}, +\infty)$

答案： ACD

(1) (2025·北京怀柔模拟)已知函数 $ f(x) = \frac{4x^2}{2x^2 + 1} $，则对任意实数 $ x $，函数 $ f(x) $ 的值域是 ()

A.$ (0, 2) $
B.$ (0, 2] $
C.$ [0, 2) $
D.$ [0, 2] $

答案： B（错误，正确答案应为B的区间包含2但x取不到2，修正为）C

(2) 对于任意实数 $ a, b $，定义 $ \min\{a, b\} = \begin{cases} a, & a \leq b \\ b, & a ＞ b \end{cases} $。设函数 $ f(x) = -x + 3 $，$ g(x) = \log_2 x $，则函数 $ h(x) = \min\{f(x), g(x)\} $ 的最大值是 。

答案： 1