《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

(2)(2025·浙江名校联考)函数 $ f(x) = \ln(2x - 1) - x^2 + x $ 的单调递增区间是 (D)

A.$(0, 1)$
B.$\left( \dfrac{1}{2}, 1 \right)$
C.$\left[ \dfrac{1 - \sqrt{2}}{2}, \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2} \right]$
D.$\left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}$$\right]$

答案： 例1
(2)D [
(2)函数$f(x)=\ln(2x - 1)-x^{2}+x$的定义域
为$(\frac{1}{2},+\infty).$
且$f^{\prime}(x)=\frac{2}{2x - 1}-2x + 1=\frac{2-(2x - 1)^{2}}{2x - 1}$
$=[\sqrt{2}-(2x - 1)][\sqrt{2}+(2x - 1)]$
2x - 1
令$f^{\prime}(x)＞0，$解得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{1 + \sqrt{2}}{2}，$
所以f(x)的单调递增区间为$(\frac{1}{2},\frac{1 + \sqrt{2}}{2}).]$

(1)下列函数在 $(0, +\infty)$ 上单调递增的是 (B)

A.$ f(x) = \sin 2x $
B.$ f(x) = xe^x $
C.$ f(x) = x^3 - x $
D.$ f(x) = -x + \ln x $

答案： 训练1
(1)B [
(1)对于$A,f^{\prime}(x)=2\cos 2x，$
$f^{\prime}(\frac{\pi}{3})=-1＜0，$不符合题意；
对于$B,f^{\prime}(x)=(x + 1)e^{x}＞0，$符合题意；
对于$C,f^{\prime}(x)=3x^{2}-1，$$f^{\prime}(\frac{1}{3})=-\frac{2}{3}＜0，$
不符合题意；
对于$D,f^{\prime}(x)=-1+\frac{1}{x}，$$f^{\prime}(2)=-\frac{1}{2}＜0，$
不符合题意.]

(2)设 $ f(x) = 2x^2 - x^3 $，则 $ f(x) $ 的单调递减区间是 (D)

A.$\left( 0, \dfrac{4}{3} \right)$
B.$\left( \dfrac{4}{3}, +\infty \right)$
C.$(-\infty, 0)$
D.$(-\infty, 0)$ 和 $\left( \dfrac{4}{3}, +\infty \right)$

答案： 训练1
(2)D [
(2)由$f(x)=2x^{2}-x^{3}，$
得$f^{\prime}(x)=4x - 3x^{2}=x(4 - 3x)，$
令$f^{\prime}(x)=0，$得x=0或$x=\frac{4}{3}$
$f^{\prime}(x),f(x)$的变化情况如表所示.
$x (-\infty,0) 0 (0,\frac{4}{3}) \frac{4}{3} (\frac{4}{3},+\infty)$
$f^{\prime}(x) - 0 + 0 -$
f(x) 单调递减 单调递增 单调递减
所以f(x)的单调递减区间是$(-\infty,0)$和
$(\frac{4}{3},+\infty).]$

例 2 已知函数 $ f(x) = 2ax^3 - 3(a + 1)x^2 + 6x + 1 $（$ a \in \mathbf{R} $），试讨论函数 $ f(x) $ 的单调性.

答案： 例2 解 由题知，$f^{\prime}(x)=6ax^{2}-6(a + 1)x + 6$
=6(ax - 1)(x - 1)，
若a＜0，当x＜\frac{1}{a}或x＞1时，
$f^{\prime}(x)$＜0，当\frac{1}{a}＜x＜1时，f^{\prime}(x)＞0，
$\therefore f(x)$在区间$(-\infty,\frac{1}{a})$和$(1,+\infty)$上单调递
减，在区间$(\frac{1}{a},1)$上单调递增；
若a=0时，当x＜1时，f^{\prime}(x)＞0，
当x＞1时，$f^{\prime}(x)＜0，$
$\therefore f(x)$在区间$(-\infty,1)$上单调递增，
在区间$(1,+\infty)$上单调递减；
若0＜a＜1，当x＜\frac{1}{a}或x＞1时，$f^{\prime}(x)＞0，$
当$\frac{1}{a}＜x＜1$时，$f^{\prime}(x)＜0，$
$\therefore f(x)$在区间$(-\infty,\frac{1}{a})$和$(1,+\infty)$上单调
递增，在区间$(\frac{1}{a},1)$上单调递减.
若a=1，则$f^{\prime}(x)\geq0，$
$\therefore f(x)$在区间$(-\infty,+\infty)$上单调递增；
若a＞1时，f(x)在区间$(-\infty,\frac{1}{a})$和
$(1,+\infty)$上单调递增，
在区间$(\frac{1}{a},1)$上单调递减.
综上所述，当a＜0时，
f(x)在区间$(-\infty,\frac{1}{a})$和$(1,+\infty)$上单调递减，
在区间$(\frac{1}{a},1)$上单调递增；
当a=0时，f(x)在区间$(-\infty,1)$上单调递增，
在区间$(1,+\infty)$上单调递减；
当0＜a＜1时，f(x)在区间$(-\infty,1)$和
$(\frac{1}{a},+\infty)$上单调递增，
在区间$(1,\frac{1}{a})$上单调递减；
当a=1时，f(x)在区间$(-\infty,+\infty)$上单调
递增；
当a＞1时，f(x)在区间$(-\infty,\frac{1}{a})$和
$(1,+\infty)$上单调递增，
在区间$(\frac{1}{a},1)$上单调递减.]

（2021·全国乙卷节选）讨论函数 $ f(x) = x^3 - x^2 + ax + 1 $ 的单调性.

答案： 训练2 解 由题意知f(x)的定义域为R，
$f^{\prime}(x)=3x^{2}-2x + a，$
对于$f^{\prime}(x)=0，$
$\Delta=(-2)^{2}-4×3a=4(1 - 3a).$
①当$a\geq\frac{1}{3}$时，$f^{\prime}(x)\geq0，$f(x)在R上单调
递增；
②当a＜\frac{1}{3}时，令$f^{\prime}(x)=0，$
即$3x^{2}-2x + a=0，$
解得$x_{1}=\frac{1-\sqrt{1 - 3a}}{3},x_{2}=\frac{1 + \sqrt{1 - 3a}}{3}$
令$f^{\prime}(x)＞0，$则x＜x_{1}或x＞$x_{2}；$
令$f^{\prime}(x)＜0，$则$x_{1}＜x＜x_{2}.$
所以f(x)在$(-\infty,x_{1}),(x_{2},+\infty)$上单调递
增，在$(x_{1},x_{2})$上单调递减.
综上，当$a\geq\frac{1}{3}$时，f(x)在R上单调递增；
当a＜\frac{1}{3}时，f(x)在$(-\infty,\frac{1-\sqrt{1 - 3a}}{3}),$
$(\frac{1 + \sqrt{1 - 3a}}{3},+\infty)$上单调递增，
在$(\frac{1-\sqrt{1 - 3a}}{3},\frac{1 + \sqrt{1 - 3a}}{3})$上单调递减.