《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点一 函数的对称性
例1（2023·全国乙卷节选）已知函数$f(x) = (\frac{1}{x} + a)\cdot\ln(1 + x)$，是否存在$a,b$，使得曲线$y$解 假设存在$a,b$，使得曲线$y=f(\frac{1}{x})$$= f(\frac{1}{x})$关于直线$x = b$对称？若存在，求$a,b$的值；若不存在，说明理由。关于直线$x=b$对称.令$g(x)=f(\frac{1}{x})=(x+a)\ln(1+\frac{1}{x})$$=(x+a)\ln\frac{x+1}{x}$因为曲线$y=g(x)$关于直线$x=b$对称，所以$g(x)=g(2b-x)$，即$(x+a)\ln\frac{x+1}{x}=(2b-x+a)\ln\frac{2b-x+1}{2b-x}$
$=(x-2b-a)\ln\frac{x-2b}{x-2b-1}$，
于是$\begin{cases}a=-2b-a\\1=-2b\end{cases}$，得$\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{2}\end{cases}$
当$a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{2}$时，
$g(x)=(x+\frac{1}{2})\ln(1+\frac{1}{x})$，
$g(-1-x)=(-x-\frac{1}{2})\ln\frac{-x}{-1-x}$
$=(-x-\frac{1}{2})\ln\frac{x}{1+x}=(x+\frac{1}{2})\ln\frac{x+1}{x}$
$=(x+\frac{1}{2})\ln(1+\frac{1}{x})=g(x)$，
所以曲线$y=g(x)$关于直线$x=-\frac{1}{2}$对称，满足题意.
故存在$a,b$，使得曲线$y=f(\frac{1}{x})$关于直线
$x=b$对称，且$a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{2}$.

答案： 例1 解 假设存在$a,b$，使得曲线$y=f(\frac{1}{x})$
关于直线$x=b$对称.
令$g(x)=f(\frac{1}{x})=(x+a)\ln(1+\frac{1}{x})$
$=(x+a)\ln\frac{x+1}{x}$
因为曲线$y=g(x)$关于直线$x=b$对称，
所以$g(x)=g(2b-x)$，
即$(x+a)\ln\frac{x+1}{x}=(2b-x+a)\ln\frac{2b-x+1}{2b-x}$
$=(x-2b-a)\ln\frac{x-2b}{x-2b-1}$，
于是$\begin{cases}a=-2b-a\\1=-2b\end{cases}$，得$\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{2}\end{cases}$
当$a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{2}$时，
$g(x)=(x+\frac{1}{2})\ln(1+\frac{1}{x})$，
$g(-1-x)=(-x-\frac{1}{2})\ln\frac{-x}{-1-x}$
$=(-x-\frac{1}{2})\ln\frac{x}{1+x}=(x+\frac{1}{2})\ln\frac{x+1}{x}$
$=(x+\frac{1}{2})\ln(1+\frac{1}{x})=g(x)$，
所以曲线$y=g(x)$关于直线$x=-\frac{1}{2}$对称，满足题意.
故存在$a,b$，使得曲线$y=f(\frac{1}{x})$关于直线
$x=b$对称，且$a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{2}$.

考点二 对称性与周期性
例2 (1)（2025·海口调研）已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(x + \frac{1}{2})$为偶函数，$f(2 - x) + f(x) = 0$，$f(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{2}$，则$f(\frac{16}{3}) =$（ ）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$0$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： 例2
(1)A [
(1)因为$f(x+\frac{1}{2})$为偶
函数，所以$f(-x+\frac{1}{2})=f(x+\frac{1}{2})$.
因为$f(2-x)+f(x)=0$，
所以$f(x-1)+f(x)=0$，
即$f(x)=-f(x-1)$，
所以$f(x-1)=-f(x-2)$，
故函数$f(x)$的一个周期为$2$，
故$f(\frac{16}{3})=f(-\frac{2}{3}+6)=f(-\frac{2}{3})$.
由$f(x-1)+f(x)=0$，
令$x=\frac{1}{3}$得，$f(-\frac{2}{3})+f(\frac{1}{3})=0$，
因为$f(\frac{1}{3})=-\frac{1}{2}$，所以$f(-\frac{2}{3})=\frac{1}{2}$，
故$f(\frac{16}{3})=f(-\frac{2}{3})=\frac{1}{2}$.]

(2)(多选)(2025·安徽名校联考)已知函数$f(x)$，$g(x)$的定义域均为$\mathbf{R}$，其中$f(x)$的图象关于点$(1,1)$中心对称，$g(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，$f(x) - g(2 + x) = 4$，$g(2) = 3$，则(BD)

A.$f(-x) + f(x) = 0$
B.$f(2026) = -5$
C.$g(2026) = -1$
D.$\sum_{k =$1$1}^{2026}f(k) = 2020$因为$f(x)-4=g(2+x)$，$g(2+x)=g(2-x)$，
所以$f(x)-4=f(-x)-4$，
所以$f(x)=f(-x)$，所以A错误；
由$f(0)=4+g(2)=7$，因为$f(x)$的图象关于
点$(1,1)$中心对称，
所以$f(1)=1,f(x+2)+f(-x-2)=2$，
又因为$f(x+2)=f(-x-2)$，
所以$f(x+4)+f(-x)=f(x)$，
所以函数$f(x)$是以$4$为周期的周期函数，
所以$f(2026)=f(2)=2-f(0)=2-7=-5$，
所以B正确；
由$g(2026)=f(2024)-4=f(0)-4=3$，
所以C错误；
因为$f(1)=1,f(2)=2-f(0)=2-7=-5$，
$f(3)=f(-1)=f(1)=1,f(4)=f(0)=7$，
所以$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4$，
所以$\sum_{k=1}^{2026}f(k)=506×4+f(1)+f(2)=2020$，
所以D正确.]

答案： 例2
(2)BD [
(2)由题意知$f(x)-4=g(2+x)$，
$g(2+x)=g(2-x)$，
所以$f(x)-4=f(-x)-4$，
所以$f(x)=f(-x)$，所以A错误；
由$f(0)=4+g(2)=7$，因为$f(x)$的图象关于
点$(1,1)$中心对称，
所以$f(1)=1,f(x+2)+f(-x-2)=2$，
又因为$f(x+2)=f(-x-2)$，
所以$f(x+4)+f(-x)=f(x)$，
所以函数$f(x)$是以$4$为周期的周期函数，
所以$f(2026)=f(2)=2-f(0)=2-7=-5$，
所以B正确；
由$g(2026)=f(2024)-4=f(0)-4=3$，
所以C错误；
因为$f(1)=1,f(2)=2-f(0)=2-7=-5$，
$f(3)=f(-1)=f(1)=1,f(4)=f(0)=7$，
所以$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4$，
所以$\sum_{k=1}^{2026}f(k)=506×4+f(1)+f(2)=2020$，
所以D正确.]

训练2 (1)(2024·武汉二模)已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(x) = g(x - 1) + 2$，若函数$g(x)$为奇函数，$g(x + 1)$为偶函数，且$f(2) = 1$，则$\sum_{k = 1}^{23}g(k) =$(B)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 训练2
(1)B [
(1)因为函数$g(x)$为奇
函数，定义域为$\mathrm{R}$，
所以有$g(-x)=-g(x),g(0)=0$.
又因为$g(x+1)$为偶函数，
所以$g(x+1)=g(-x+1),g(2)=g(0)=0$，
于是有$g(x+2)=g(-x)=-g(x)\Rightarrow g(x+$
$4)=g(x)$，
所以函数$g(x)$的周期为$4$，
因为$g(x)=f(x+1)-2,f(2)=1$，
所以$g(1)=f(1+1)-2=-1,g(3)=g(-1)$
$=-g(1)=1,g(4)=g(0)=0$，
所以$g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0$，
于是$\sum_{k=1}^{23}g(k)=5×[g(1)+g(2)+g(3)+$
$g(4)]+g(1)+g(2)+g(3)=0-1+0+1=0$，
故选B.]

(2)(多选)(2025·保定质检)已知$f(x + 1)$是奇函数，$f(x)$的图象关于直线$x = -1$对称，则下列结论正确的是(BCD)

A.$f(x)$是周期为$4$的周期函数
B.$f(x - 5)$为偶函数
C.$f(x)$的图象关于点$(-3,0)$对称
D.$f(5) = 0$

答案： 训练2
(2)BCD [
(2)对于A,法一 由题知$f(x+1)$为奇函数，
所以$f(x)$的图象关于点$(1,0)$对称，
则$f(-x)+f(2+x)=0$，①
因为$f(x)$的图象关于直线$x=-1$对称，
所以$f(-x)=f(-2+x)$，②
将②代入①可得$f(-2+x)+f(2+x)=0$，
将$x$换为$x+4$代入③式有
$f(x+4)+f(x+8)=0$，④
所以$f(x)$是周期为$8$的周期函数.
法二 由$f(x)$的图象关于点$(1,0)$对称，且关
于直线$x=-1$对称，则$f(x)$的周期$T=4|-1$
$-1|=8$，故选项A错误；
对于B,因为$f(x)$的图象关于直线$x=-1$对
称且周期为$8$，
所以$f(-x-5)=f(3+x)=f(x-5)$，
所以$f(x-5)$为偶函数，故选项B正确；
对于C，由$f(-x+1)=-f(x+1)$及$f(x)$的周
期为$8$，可知$f(-x-3)=-f(x+5)=$
$-f(x-3)$，所以$f(x)$的图象关于点$(-3,0)$对
称，故选项C正确；
对于D，因为$f(x+1)+f(-x+1)=0$，取$x$
$0$可得$f(1)=0$，所以$f(5)=f(-3)=f(1)=$
$0$，故选项D正确.]