《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 1 已知椭圆方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，求该椭圆在点$P(1,\frac{3}{2})$处的切线方程。x + 2y - 4 = 0

答案： 例1 解 法一 由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为$y - \frac{3}{2} = k(x - 1)$。将$y - \frac{3}{2} = k(x - 1)$代入$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$中得，$3x^{2} + 4\left[k(x - 1) + \frac{3}{2}\right]^{2} = 12$。化简整理得$(3 + 4k^{2})x^{2} + (12k - 8k^{2})x + 4k^{2} - 12k - 3 = 0$。令$\Delta = (12k - 8k^{2})^{2} - 4(3 + 4k^{2})(4k^{2} - 12k - 3) = 0$。化简整理得$36k^{2} + 36k + 9 = 0$，即$4k^{2} + 4k + 1 = 0$，解得$k = - \frac{1}{2}$。所以切线方程为$y - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}(x - 1)$，即$x + 2y - 4 = 0$。法二 因为$P$在第一象限，$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$可化为$y = \sqrt{3} \cdot \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$。$y' = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}\left(1 - \frac{x^{2}}{4}\right)^{- \frac{1}{2}} \cdot \left(- \frac{x}{2}\right) \cdot 2 = \sqrt{3} \cdot \frac{- \frac{x}{2}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$。当$x = 1$时，$k = y'|_{x = 1} = - \frac{1}{2}$。所以切线方程为$y - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}(x - 1)$，即$x + 2y - 4 = 0$。法三 由$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$的切线为$\frac{x_{0}x}{a^{2}} + \frac{y_{0}y}{b^{2}} = 1$，得过$(1,\frac{3}{2})$的切线方程为$\frac{1 \cdot x}{4} + \frac{\frac{3}{2} \cdot y}{3} = 1$，整理得$x + 2y - 4 = 0$。

训练 1 (1)(2025·青岛调研)圆$x^{2}+y^{2}=r^{2}$在点$(x_{0},y_{0})$处的切线方程为$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$，类似地，可以求得椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$在点$(2,1)$处的切线方程为x + 2y - 4 = 0。

答案： 训练1
(1)$x + 2y - 4 = 0$

(2)过点$P(2,2)$作抛物线$y^{2}=2x$的切线$l$，切线$l$在$y$轴上的截距为1。

答案： 训练1
(2)1 $[(1)x^{2} + y^{2} = r^{2}$在点$(x_{0},y_{0})$处的切线方程为$x_{0}x + y_{0}y = r^{2}$，类比得到$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$在点$(x_{0},y_{0})$处的切线方程为$\frac{x_{0}x}{a^{2}} + \frac{y_{0}y}{b^{2}} = 1$，故椭圆$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$在点$(2,1)$处的切线方程为$\frac{2x}{8} + \frac{y}{2} = 1$，即$x + 2y - 4 = 0$。
(2)设切线斜率为$k$，则切线方程为$y - 2 = k(x - 2)$。联立方程$\begin{cases}y - 2 = k(x - 2)\\y^{2} = 2x\end{cases}$，可得$ky^{2} - 2y - 4k + 4 = 0$。则$\Delta = 4 - 4k( - 4k + 4) = 0$，解得$k = \frac{1}{2}$。即切线方程为$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 2)$，取$x = 0$，得$y = 1$，所以切线$l$在$y$轴上的截距为$1$。