《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

训练2 如图1，$\angle ABC = \angle BCD = 90°$，$AB = BC = 2$，$CD = 4$，将图1中的$\triangle ABC$沿着$BC$翻折得到图2所示的三棱锥，棱$AD$上的点$E$满足$\overrightarrow{AE} = \lambda\overrightarrow{AD}(0 ＜ \lambda ＜ 1)$.
(1)过点$E$作截面$\alpha//$平面$BCD$，写出作法并证明；
(2)当二面角$A - BC - D$的大小为$120°$时，求直线$AD$与(1)中平面$\alpha$所成角的正切值.$\frac{\sqrt{87}}{29}$

答案：

(1)如图，过点$E$作$EF // BD$交$AB$于点$F$， 作$EG // CD$交$AC$于点$G$，连接$FG$，则$\triangle EFG$所在的平面即为截面$\alpha$. 　　　　　　　　 证明如下： 因为$EF // BD$，$EF \not\subset$平面$BCD$， $BD \subset$平面$BCD$，所以$EF //$平面$BCD$. 同理可证得$EG //$平面$BCD$， 而$EF \cap EG = E$，$EF$，$EG \subset$平面$EFG$，所以平面$EFG //$平面$BCD$，即截面$\alpha //$平面$BCD$.
(2)解　法一　如图，在平面$BCD$中，作$BM // CD$，$DM // BC$，$BM \cap DM = M$，连接$AM$， 则$BC \perp BM$，$BC \perp AB$， 又$AB \cap BM = B$，$AB$，$BM \subset$平面$ABM$，所以$BC \perp$平面$ABM$. 所以$\angle ABM$是二面角$A - BC - D$的一个平面角，所以$\angle ABM = 120^{\circ}$. 由于$BC \subset$平面$BCDM$，设点$A$在平面$BCDM$上的射影为$H$，则点$H$在$MB$的延长线上，连接$AH$，$DH$， 则$\angle ADH$即为直线$AD$与平面$BCD$所成的角，也等于$AD$与平面$\alpha$所成的角. 因为$AH = AB\sin60^{\circ} = \sqrt{3}$，$BH = AB\cos60^{\circ} = 1$， $DH = \sqrt{HM^{2} + DM^{2}} = \sqrt{29}$， 所以$\tan\angle ADH = \frac{AH}{DH} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{87}}{29}$，所以直线$AD$与平面$\alpha$所成角的正切值为$\frac{\sqrt{87}}{29}$. 法二　如图，在平面$BCD$中，作$BM // CD$，$DM // BC$，$BM \cap DM = M$， 则$BC \perp BM$，$BC \perp AB$，又$AB \cap BM = B$， $AB$，$BM \subset$平面$ABM$，所以$BC \perp$平面$ABM$， 所以$\angle ABM$是二面角$A - BC - D$的一个平面角，所以$\angle ABM = 120^{\circ}$. 由
(1)可知直线$AD$与平面$BCD$所成的角等于$AD$与平面$\alpha$所成的角. 以$B$为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，$z$轴在平面$ABM$上. 由题意得，$A(0, - 1,\sqrt{3})$，$D(2,4,0)$， 所以$\overrightarrow{AD} = (2,5, - \sqrt{3})$. 取平面$BCD$的一个法向量为$\boldsymbol{n} = (0,0,1)$， 设$AD$与平面$\alpha$所成的角为$\theta$， 则$\sin\theta = |\cos\langle\overrightarrow{AD},\boldsymbol{n}\rangle| = \frac{|\overrightarrow{AD} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AD}||\boldsymbol{n}|} = \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{8}$， 因为$\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]$， $\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^{2}\theta} = \frac{\sqrt{58}}{8}$， 所以$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\sqrt{87}}{29}$， 所以直线$AD$与平面$\alpha$所成角的正切值为$\frac{\sqrt{87}}{29}$.

典例
(1)在正四面体 $ A - BCD $ 中，$ O $ 为 $ \triangle BCD $ 的重心，则 $ \cos \angle ABO = $$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

答案：
(1)$\frac{\sqrt{3}}{3}$

（2）如图所示，矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 2\sqrt{2} $，$ AD = 2 $，沿 $ BD $ 将 $ \triangle BCD $ 折起，使得点 $ C $ 在平面 $ ABD $ 上的射影落在 $ AB $ 上，则直线 $ BC $ 与平面 $ ABD $ 所成的角为____。

答案：
(2)$45^{\circ}$