《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

训练 2 (1) 已知函数 $ f(x) $ 的一条对称轴为直线 $ x = 2 $，一个周期为 4，则 $ f(x) $ 的解析式可能为()
A. $ \sin \left( \frac{\pi}{2} x \right) $
B. $ \cos \left( \frac{\pi}{2} x \right) $
C. $ \sin \left( \frac{\pi}{4} x \right) $
D. $ \cos \left( \frac{\pi}{4} x \right) $

答案：
(1)B [
(1)A 中，$T=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4，$
B 中，$T=\frac{2\pi}{2}=4，$
C 中，$T=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}}=8，$
D 中，$T=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}}=8,$排除 C,D；
对于 A，当 x=2 时，$\sin\left(\frac{\pi}{2}×2\right)=0，$
故(2,0)是函数的一个对称中心，排除 A；
对于 B，当 x=2 时，$\cos\left(\frac{\pi}{2}×2\right)=-1，$
故 x=2 是函数的一条对称轴.]

(2) 记函数 $ f(x) = \sin \left( \omega x + \frac{\pi}{4} \right) + b $($ \omega ＞ 0 $)的最小正周期为 $ T $. 若 $ \frac{2\pi}{3} ＜ T ＜ \pi $，且 $ y = f(x) $ 的图象关于点 $ \left( \frac{3\pi}{2}, 2 \right) $ 中心对称，则 $ f \left( \frac{\pi}{2} \right) = $()

A.1
B.$ \frac{3}{2} $
C.$ \frac{5}{2} $
D.3

答案：
(2)A [
(2)因为$ \frac{2\pi}{3}＜T＜\pi，$所以$ \frac{2\pi}{3}＜$|$\omega$|＜\pi.
又因为$ \omega＞0，$所以 2＜\omega＜3.
因为 y=f(x)的图象关于点$\left(\frac{3\pi}{2},2\right)$中心对
称，所以$ b=2,\frac{3\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{2}=k\pi,k\in \mathbf{Z}，$
所以$ \omega=-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}k,k\in \mathbf{Z}.$
令 2＜-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}k＜3,解得$ \frac{13}{4}＜k＜\frac{19}{4}.$
又因为$ k\in \mathbf{Z},$所以 k=4，所以$ \omega=\frac{5}{2}.$
所以$ f(x)=\sin\left(\frac{5}{2}x+\frac{\pi}{4}\right)+2，$
所以$ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)+2=1.]$

例 3 (1)(多选)(2024·石家庄调研)下列不等式成立的是()

A.$ \sin \left( -\frac{\pi}{10} \right) ＜ \sin \left( -\frac{\pi}{8} \right) $
B.$ \cos 400^{\circ} ＞ \cos(-50^{\circ}) $
C.$ \sin \frac{7\pi}{8} ＜ \sin \frac{8\pi}{7} $
D.$ \sin 3 ＜ \sin 2 $

答案：
(1)BD [
(1)因为$ -\frac{\pi}{2}＜-\frac{\pi}{8}＜$
$-\frac{\pi}{10}＜0，$且函数$ y=\sin x $在$\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$上单
调递增，
所以$ \sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)＜\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right)，$故 A 错误；
因为$ \cos400^{\circ}=\cos40^{\circ},\cos(-50^{\circ})=\cos50^{\circ}，$
且当$ 0^{\circ}\leqslant x\leqslant90^{\circ}$时，函数$ y=\cos x $单调递减，
所以$ \cos40^{\circ}＞\cos50^{\circ}，$
即$ \cos400^{\circ}＞\cos(-50^{\circ})，$故 B 正确；
因为$ -\frac{\pi}{2}＜\frac{7\pi}{8}＜\frac{8\pi}{7}＜\frac{3\pi}{2}，$且函数$ y=\sin x $在
区间$\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$上单调递减，
所以$ \sin\frac{7\pi}{8}＞\sin\frac{8\pi}{7}，$故 C 错误；
因为$ -\frac{\pi}{2}＜2＜3＜\frac{3\pi}{2}，$且函数$ y=\sin x $在区间
$\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$上单调递减，所以$ \sin3＜\sin2，$故 D
正确.]

(2)(2025·赣州联考)已知函数 $ f(x) = 2\cos \left( \frac{\pi}{4} - 3x \right) $，$ x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $，则 $ f(x) $ 的单调递增区间是()

A.$ \left[ \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} \right] $
B.$ \left[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{12} \right] $
C.$ \left[ -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4} \right] $，$ \left[ \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} \right] $
D.$ \left[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{12}$$\right] $，$ \left[ \frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{2} \right] $

答案： $(2)D [(2)f(x)=2\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)，$
可化为$ f(x)=2\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)，$
令$ 2k\pi-\pi\leqslant3x-\frac{\pi}{4}\leqslant2k\pi,k\in \mathbf{Z}，$
解得$ -\frac{2}{3}k\pi-\frac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant\frac{2}{3}k\pi+\frac{\pi}{12},k\in \mathbf{Z}.$
令 k=0，得$ -\frac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{12}，$
令 k=1，得$ \frac{5\pi}{12}\leqslant x\leqslant\frac{3\pi}{4}，$
$\because x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$
$\therefore f(x)$的单调递增区间是
$\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{12}\right],\left[\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{2}\right].]$

训练 3 (1)(2025·泰州调研)已知 $ a = \frac{1 + \tan 18^{\circ}}{1 - \tan 18^{\circ}} $，$ b = 2\cos^2 33^{\circ} - 1 $，$ c = \sqrt{\frac{1 + \cos 56^{\circ}}{2}} $，则()

A.$ a ＞ c ＞ b $
B.$ c ＞ a ＞ b $
C.$ a ＞ b ＞ c $
D.$ b ＞ a ＞ c $

答案： $(1)A [(1)a=\frac{1+\tan18^{\circ}}{1-\tan18^{\circ}}$
$=\tan(45^{\circ}+18^{\circ})=\tan63^{\circ}，$
$b=2\cos^{2}33^{\circ}-1=\cos66^{\circ}=\sin24^{\circ}，$
$c=\sqrt{\frac{1+\cos56^{\circ}}{2}}=\sqrt{\cos^{2}28^{\circ}}$
$=\cos28^{\circ}=\sin62^{\circ}，$
因为$ \tan63^{\circ}＞\tan60^{\circ}=\sqrt{3}，$
$\sin24^{\circ}＜\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}，$
$\frac{1}{2}$＜\sin62^{\circ}＜1,所以 a＞c＞b.]

(2)(2025·天津部分区模拟)下列函数中，以 $ \frac{\pi}{2} $ 为周期，且在区间 $ \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3} \right) $ 上单调递增的是()

A.$ f(x) = \sin |x| $
B.$ f(x) = |\sin 2x| $
C.$ f(x) = \cos |x| $
D.$ f(x) = |\cos 2x|$$$

答案：
(2)D [
(2)对于$ A,f(0)=\sin$|0|=0，
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left$|$\frac{\pi}{2}\right$|$=1\neq f(0)，$
故$ f(x)=\sin$|x|不以$\frac{\pi}{2}$为周期，故 A 错误；
对于$ B,f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=$|$\sin(2x+\pi)$|=|$\sin2x$|
=f(x)，故 f(x)=|$\sin2x$|的一个周期为$\frac{\pi}{2}，$
且 f(x)在$\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right)$上单调递减，故 B 错误；
对于$ C,f(0)=\cos$|0|=1，
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left$|$\frac{\pi}{2}\right$|$=0\neq f(0)，$
故$ f(x)=\cos$|x|不以$\frac{\pi}{2}$为周期，故 C 错误；
对于$ D,f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=$|$\cos(2x+\pi)$|=|$\cos2x$|
=f(x)，故 f(x)=|$\cos2x$|以$\frac{\pi}{2}$为周期，且
f(x)在$\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right)$上单调递增，故 D 正确.]