《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集。(×)
(2)$\{x\mid y = x^{2}+1\}=\{y\mid y = x^{2}+1\}=\{(x,y)\mid y = x^{2}+1\}$。(×)
(3)若$1\in\{x^{2},x\}$，则$x = -1$或$1$。(×)
(4)对于任意两个集合$A$，$B$，$(A\cap B)\subseteq(A\cup B)$恒成立。(√)

答案： 1.
(1)×　
(2)×　
(3)×　
(4)√　[
(1)错误.空集只有一个子集.
(2)错误，{x|y=x²+1}=R,{y|y=x²+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x²+1}是抛物线y=x²+1上的点集.
(3)错误.当x=1时,不满足集合中元素的互异性.]

2. (人教B必修一P9练习BT4改编)已知集合$A=\{x - 2,x + 5,12\}$，且$-3\in A$，则$x =$-1或-8。

答案： 2.-1或-8　[若x-2=-3,得x=-1,符合题意,若x+5=-3,得x=-8,符合题意,故x=-1或-8.]

3. (人教A必修一P13T1改编)已知$U = \{1,2,3,4,5,6,7\}$，$A = \{2,4,5\}$，$B = \{1,3,5,7\}$，则$A\cap(\complement_{U}B)=${2,4}。

答案： 3.{2,4}　[易知∁UB={2,4,6},故A∩(∁UB)={2,4}.]

4. (苏教必修一P23T14改编)已知集合$A=\{x\mid 0\lt x\lt a\}$，$B=\{x\mid 1\lt x\lt 2\}$，若$B\subseteq A$，则实数$a$的取值范围是[2,+∞)。

答案：
4.[2,+∞)　[由图可知a≥2.]

例1 (1)(2024·南京二模)已知集合$A = \{1,2,4\}$，$B = \{(x,y)\mid x\in A,y\in A,x - y\in A\}$，则集合$B$的元素个数为2。

答案： 1.
(1)2　[
(1)当x=1时,y=1,2,4,x-y=0,-1,-3,不符合(x-y)∈A,舍去;当x=2时,y=1,2,4,x-y=1,0,-2,则x=2,y=1;当x=4时,y=1,2,4,x-y=3,2,0,则x=4,y=2.故B={(x,y)|(2,1),(4,2)},共2个元素.]

(2)若含有$3$个实数的集合既可表示成$\{a,\frac{b}{a},1\}$，又可表示成$\{a^{2},a + b,0\}$，则$a^{2026}+b^{2026}=$1。

答案：
(2)1　[
(2)因为${a, \frac {b}{a},1}={a²,a+b,0},$显然a≠0,所以$\frac {b}{a}=0,$即b=0;此时两集合分别是{a,1,0},{a,a²,0},则a²=1,解得a=1或a=-1;当a=1时,不满足互异性,故舍去;当a=-1时,满足题意.所以a²⁰²⁶+b²⁰²⁶=(-1)²⁰²⁶+0²⁰²⁶=1.]

训练1 (1)(2025·银川、昆明联考)已知集合$A = \{-1,0,1\}$，$B = \{x\mid x = mn,m\in A,n\in A\}$，则集合$B$的真子集个数是(B)
A.$4$
B.$7$
C.$8$
D.$15$

答案： 1.
(1)B　[
(1)由题意得B={x|x=mn,m∈A,n∈A}={-1,0,1},故集合B的真子集个数为2³-1=7.]

(2)(2025·北京西城区调研)已知集合$A = \{x\mid|x - 1|\lt 3\}$，$B = \{x\mid x^{2}-3x - 10\lt 0\}$，若$a\notin A$，且$a\in B$，则$a$的取值范围是(D)

A.$( - 2,4)$
B.$(4,5)$
C.$[4,5]$
D.$[4,5)$

答案：
(2)D　[
(2)由|x-1|＜3,可得-2＜x＜4,所以A={x|-2＜x＜4}.由x²-3x-10＜0,可得-2＜x＜5,所以B={x|-2＜x＜5}.若a∉A,且a∈B,则有a∈∁BA=[4,5).]

例2 (1)(2024·江门联考)设$M = \{x\mid x = 4k - 3,k\in\mathbf{Z}\}$，$N = \{x\mid x = 2k - 1,k\in\mathbf{Z}\}$，则(A)

A.$M\subseteq N$
B.$N\subseteq M$
C.$M = N$
D.$M\cap N=\varnothing$

答案： 1.
(1)A　[
(1)因为M={x|x=4k-3,k∈Z}={x|x=2(2k-1)-1,k∈Z},N={x|x=2k-1,k∈Z},所以M⊆N.故选A.]

(2)(2025·大连模拟)设集合$A = \{x\mid x - 5 = 0\}$，$B = \{x\mid ax - 1 = 0\}$，若$A\cap B = B$，则实数$a$的值为______。

答案： 2.0或$\frac{1}{5}　[(2)$因为A={x|x-5=0}={5},又A∩B=B,所以B⊆A.当B=∅时,a=0,符合题意;当B={5}时,5a-1=0,解得$a=\frac {1}{5}.$综上所述,得a=0或$a=\frac {1}{5}.]$

训练2 (1)(2025·北京人大附中检测)已知集合$U = \{-1,0,1,2\}$，$A = \{-1,0,1\}$，$B = \{0,1,2\}$，则$\{-1\}\subseteq$(B)
A.$\complement_{U}A$
B.$\complement_{U}B$
C.$(\complement_{U}A)\cap B$
D.$\complement_{U}(A\cup B)$

答案： 1.
(1)B　[
(1)对于A,∁UA={2},故A错误;对于B,∁UB={-1},所以{-1}⊆∁UB,故B正确;对于C,(∁UA)∩B={2},故C错误;对于D,∁U(A∪B)=∅,故D错误.]

(2)设集合$A = \{x\mid - 1\leqslant x + 1\leqslant 6\}$，$B = \{x\mid m - 1\lt x\lt 2m + 1\}$，当$x\in\mathbf{Z}$时，集合$A$的非空真子集的个数为254；当$B\subseteq A$时，实数$m$的取值范围是{m|m≤-2或-1≤m≤2}。

答案：
(2)254　{m|m≤-2或-1≤m≤2}　[
(2)易得A={x|-2≤x≤5}.若x∈Z,则A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素,所以A的非空真子集的个数为2⁸-2=254.①当m-1≥2m+1,即m≤-2时,B=∅,满足B⊆A;②当m-1＜2m+1,即m＞-2时,要使B⊆A,则需$\begin{cases}m-1≥-2,\\2m+1≤5,\end{cases}$解得-1≤m≤2.综上所述,m的取值范围是{m|m≤-2或-1 ≤m≤2}.]