《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

角度 2 对勾函数、飘带函数

例 3 (1)函数 $ f ( x ) = | x | - \frac { m } { x } ( m \in \mathbf { R } ) $ 的图象不可能是 （_）

答案： 例3
(1)C [
(1)当$m = 0$时，$f(x)=|x|(x\neq0)$，A有可能；当$m = 1$时，$f(x)=\begin{cases}x - \frac{1}{x},x＞0 \\ -x - \frac{1}{x},x＜0 \end{cases}$易得$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，根据对勾函数图象易得在$(-\infty,-1)$上单调递减，在$(-1,0)$上单调递增，D有可能；当$m = -1$时，$f(x)=\begin{cases}x + \frac{1}{x},x＞0 \\ -x + \frac{1}{x},x＜0 \end{cases}$易得$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增，B有可能，所以C不可能]

(2)已知函数 $ f ( x ) = \left| x + \frac { a } { x } \right| ( a \in \mathbf { R } ) $，方程 $ f ( x ) = 4 $ 在 $ [ 0, + \infty ) $ 有两个解 $ x _ { 1 }, x _ { 2 } $，记 $ g ( a ) = | x _ { 1 } - x _ { 2 } | $，则下列结论正确的是 （_）

A.函数 $ f ( x ) $ 的值域是 $ [ 0, + \infty ) $
B.若 $ a = - 1 $，则 $ f ( x ) $ 的增区间为 $ [ - 1, 0 ) $ 和 $ [ 1, + \infty ) $
C.若 $ a = 4 $，则 $ g ( a ) = 0 $
D.函数 $ g ( a ) $ 的最大值为 $ 4$B$$

答案：
(2)B [
(2)当$\alpha = 1$时，$f(x)=|x+\frac{1}{x}|$，$f(-x)=|-x - \frac{1}{x}|=|x+\frac{1}{x}|=f(x)$，即$f(x)$为偶函数，当$x＞0$时，$f(x)=x+\frac{1}{x}$，则函数$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增，由偶函数性质知$f(x)_{min}=f(1)=1 + 1 = 2$，故A错误；当$\alpha = -1$时，$f(-x)=|-x + \frac{1}{x}|=|x - \frac{1}{x}|=f(x)$，则$f(x)$为偶函数，当$x\in(0,1)$时，$f(x)=-x+\frac{1}{x}$，易知$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，当$x\in[1,+\infty)$时，$f(x)=x - \frac{1}{x}$，易知$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，由偶函数对称性知，$f(x)$的增区间为$[-1,0)$，$[1,+\infty)$，故B正确；若$\alpha = 4$时，$f(x)=|x+\frac{4}{x}|$，令$f(x)=4$时，则$x_{1}=-2$，$x_{2}=2$，此时$g(\alpha)=4$，故C错误；若$\alpha = 0$时，$f(x)=|x|$，令$f(x)=4$时，则$x=\pm4$，$g(\alpha)=8$，此时与函数$g(\alpha)$的最大值为4矛盾，故D错误.]

角度 3 高斯函数、狄利克雷函数、最值函数
例 4 (1)(多选)(2025·浙江名校联考)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $ x \in \mathbf { R } $，用 $ [ x ] $ 表示不超过 $ x $ 的最大整数，则 $ y = [ x ] $ 称为高斯函数，例如 $ [ - 2.1 ] = - 3 $，$ [ 2.1 ] = 2 $，则下列说法正确的是 （_）

A.函数 $ y = x - [ x ] $ 在区间 $ [ k, k + 1 ) ( k \in \mathbf { Z } ) $ 上单调递增
B.函数 $ y = x - [ x ] $ 的值域为 $ [ 0, 1 ) $
C.函数 $ y = x - [ x ] $ 是 $ \mathbf { R } $ 上的增函数
D.$ x \in \mathbf { R }, x \geqslant [ x ] + 1 $

答案：
例4
(1)AB [
(1)对于A，$x\in[k,k + 1)$，$k\in Z$，有$[x]=k$，则函数$y=x - [x]=x - k$在$[k,k + 1)$上单调递增，故A正确；对于B,C，当$x\in[0,1)$时，$y=x$，当$x\in[1,2)$时，$y=x - 1$，当$x\in[2,3)$时，$y=x - 2$，……故可画出$y=x - [x]$的图象如图所示，由图象可知B正确，C错误；对于D，当$x = 2$时，$[x]+1 = 3$，有$2＜[2]+1$，故D不正确.　　　　　　　　　　　　]

(2)(多选)(2025·福州质检)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数 $ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { 1, x \in \mathbf { Q }, } \\ { 0, x \in \complement _ { \mathbf { R } } \mathbf { Q }, } \end{array} \right. $ 称为狄利克雷函数，则关于函数 $ f ( x ) $ 的叙述，正确的是 （_）

A.函数 $ y = f ( x ) $ 的图象是两条直线
B.$ f ( f ( x ) ) = 1 $
C.$ f ( \sqrt { 3 } ) ＞ f ( 1 ) $
D.$ \forall x \in \mathbf { R } $，都有 $ f ( 1 - x ) = f ( 2 + x ) $

答案：
(2)BD [
(2)对于A，函数$y=f(x)$的图象是断续的点集，不是两条直线，A错误；对于B，当$x$为有理数时，$f(x)=1$，所以$f(f(x))=f(1)=1$，当$x$为无理数时，$f(x)=0$，$f(f(x))=f(0)=1$，B正确；对于C，$f(\sqrt{3})=0$，$f(1)=1$，所以$f(1)＞f(\sqrt{3})$，C错误；对于D，由题意，函数定义域为R，且$f(-x)=f(x)$，所以$f(x)$为偶函数，若$x$是有理数，则$x + T$也是有理数；若$x$是无理数，则$x + T$也是无理数；所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数$T$，$f(x + T)=f(x)=f(-x)=f(1 - x)$，所以$\forall x\in R$，都有$f(1 - x)=f(2 + x)$，D正确.]

(3)(2025·西安质检)已知 $ f ( x ) = 2 ^ { x + 1 } $，$ g ( x ) = 2 ^ { ( x + 1 ) ^ { 2 } } $，$ \forall x \in \mathbf { R } $，用 $ M ( x ) $ 表示 $ f ( x ) $，$ g ( x ) $ 中的较大者，记为：$ M ( x ) = \max \{ f ( x ), g ( x ) \} $。当 $ x \in \mathbf { R } $ 时，函数 $ M ( x ) $ 的最小值为 （_）

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 4$B$$

答案：
(3)B [
(3)已知函数$y=2^{x}$在R上单调递增，若$x + 1\geq(x + 1)^{2}$，则$-1\leq x\leq0$；若$x + 1＜(x + 1)^{2}$，则$x＞0$或$x＜-1$.故当$-1\leq x\leq0$时，$2^{x + 1}\geq2^{(x + 1)^{2}}$，即$f(x)\geq g(x)$；当$x＞0$或$x＜-1$时，$2^{x + 1}＜2^{(x + 1)^{2}}$，即$f(x)＜g(x)$.综上，$M(x)=\begin{cases}2^{(x + 1)^{2}},x＜-1 \\ 2^{x + 1},-1\leq x\leq0 \\ 2^{(x + 1)^{2}},x＞0 \end{cases}$当$x＜-1$时，易知函数$y=2^{u}$（$u$为自变量）在R上单调递增，函数$u=(x + 1)^{2}$在$(-\infty,-1)$上单调递减，
∴$M(x)=2^{(x + 1)^{2}}$在$(-\infty,-1)$上单调递减，又$2^{(-1 + 1)^{2}}=1$，
∴此时$M(x)＞1$.当$-1\leq x\leq0$时，函数$y=2^{u}$（$u$为自变量）在R上单调递增，函数$u=x + 1$在$[-1,0]$上单调递增，
∴$M(x)=2^{x + 1}$在$[-1,0]$上单调递增，故此时$M(x)\geq M(-1)=2^{-1 + 1}=1$.当$x＞0$时，函数$y=2^{u}$（$u$为自变量）在R上单调递增，函数$u=(x + 1)^{2}$在$(0,+\infty)$上单调递增，
∴$M(x)=2^{(x + 1)^{2}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，又$2^{(0 + 1)^{2}}=2$，
∴此时$M(x)＞2$.综上，$M(x)$的最小值为$M(-1)=1$.故选B.]

(1)函数 $ y = \frac { 1 } { 1 - x } $ 的图象与函数 $ y = 2 \sin \pi x ( - 2 \leqslant x \leqslant 4 ) $ 的图象所有交点的横坐标之和等于 （_）

A.$ 2 $
B.$ 4 $
C.$ 6 $
D.$ 8 $

答案：
训练2
(1)D [
(1)函数$y=\frac{1}{1 - x}$与函数$y=2\sin\pi x(-2\leq x\leq4)$的图象均关于点$(1,0)$成中心对称，从图象可知两函数共有8个交点，均关于点$(1,0)$成中心对称，即横坐标之和等于8.　　　]

(2)设 $ x \in \mathbf { R } $，用 $ [ x ] $ 表示不超过 $ x $ 的最大整数，则 $ y = [ x ] $ 称为高斯函数，例如：$ [ - 0.5 ] = - 1 $，$ [ 1.5 ] = 1 $，已知函数 $ f ( x ) = 4 ^ { x - \frac { 1 } { 2 } } - 3 × 2 ^ { x } + 4 ( 0 ＜ x ＜ 2 ) $，则函数 $ y = [ f ( x ) ] $ 的值域为 （_）

A.$ \left[ - \frac { 1 } { 2 }, \frac { 3 } { 2 } \right) $
B.$ \{ - 1, 0, 1 \} $
C.$ \{ - 1, 0, 1, 2 \} $
D.$ \{ 0, 1, 2$B$\} $

答案：
(2)B [
(2)$f(x)=4^{x-\frac{1}{2}}-3×2^{x}+4(0＜x＜2)$，令$t=2^{x}$，$t\in(1,4)$，可得$g(t)=\frac{1}{2}t^{2}-3t + 4=\frac{1}{2}(t - 3)^{2}-\frac{1}{2}$，$g(t)$在$(1,3]$上递减，在$[3,4)$上递增，当$t = 3$时，$g(t)$有最小值$g(3)=-\frac{1}{2}$，又因为$g(1)=\frac{3}{2}$，$g(4)=0$，所以当$t\in(1,4)$时，$g(t)\in[-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$即函数$f(x)$的值域为$[-\frac{1}{2},\frac{3}{2})$，当$f(x)\in[-\frac{1}{2},0)$时，$[f(x)]=-1$；$f(x)\in[0,1)$时，$[f(x)]=0$；$f(x)\in[1,\frac{3}{2})$时，$[f(x)]=1$.所以$y=[f(x)]$的值域是$\{-1,0,1\}$.]