《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

(2024·新高考Ⅱ卷)记$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\sin A+\sqrt{3}\cos A = 2$.
(1)求$A$；
(2)若$a = 2$，$\sqrt{2}b\sin C = c\sin 2B$，求$\triangle ABC$的周长.

答案： 训练3 解
(1)由$\sin A+\sqrt{3}\cos A = 2$,得$\frac{1}{2}\sin A+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A=1$,所以$\sin(A+\frac{\pi}{3})=1$.因为$0＜A＜\pi$,所以$\frac{\pi}{3}＜A+\frac{\pi}{3}＜\frac{4\pi}{3}$.所以$A+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$,故$A=\frac{\pi}{6}$.
(2)由$\sqrt{2}b\sin C = c\sin 2B$,得$\sqrt{2}b\sin C=2c\sin B\cos B$,由正弦定理,得$\sqrt{2}bc=2cb\cos B$,所以$\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$,因为$0＜B＜\pi$,所以$B=\frac{\pi}{4}$.$C=\pi-(A+B)=\frac{7\pi}{12}$,所以$\sin C=\sin\frac{7\pi}{12}=\sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.由正弦定理得$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{2\sin\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{6}}=2\sqrt{2}$,$c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{2\sin\frac{7\pi}{12}}{\sin\frac{\pi}{6}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$,所以$\bigtriangleup ABC$的周长为$a+b+c=2+\sqrt{6}+3\sqrt{2}$.

典例
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足$\sin B(1 + 2\cos C) = 2\sin A\cos C + \cos A\sin C$，则下列等式成立的是(A)

A.$a = 2b$
B.$b = 2a$
C.$A = 2B$
D.$B = 2A$

答案： 典例A[法一因为$\sin B(1 + 2\cos C)$
$= 2\sin A\cos C + \cos A\sin C$，
所以$\sin B + 2\sin B\cos C = \sin A\cos C + \sin(A + C)$，
所以$\sin B + 2\sin B\cos C = \sin A\cos C + \sin B$，
即$\cos C(2\sin B - \sin A) = 0$，
所以$\cos C = 0$或$2\sin B = \sin A$，
即$C = 90°$或$2b = a$，
又$\triangle ABC$为锐角三角形，
所以$0° ＜ C ＜ 90°$，故$2b = a$。
[法二由正弦和余弦定理得
$b\left(1 + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}\right)$
$= 2a × \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab} + c × \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$
所以$2b^{2}\left(1 + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{ab}\right) = a^{2} + 3b^{2} - c^{2}$，
即$\frac{2b}{a}(a^{2} + b^{2} - c^{2}) = a^{2} + b^{2} - c^{2}$，
即$(a^{2} + b^{2} - c^{2})\left(\frac{2b}{a} - 1\right) = 0$，
所以$a^{2} + b^{2} = c^{2}$或$2b = a$，
又$\triangle ABC$为锐角三角形，
所以$a^{2} + b^{2} ＞ c^{2}$，故$2b = a$。
[法三由正弦定理及射影定理，
得$b + 2b\cos C = 2a\cos C + c\cos A$
$= a\cos C + (a\cos C + c\cos A) = a\cos C + b$，
即$2b\cos C = a\cos C$，
又因为$\triangle ABC$为锐角三角形，
所以$\cos C \neq 0$，则$2b = a$。

训练
(2025·济南模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且$a\cos C + \sqrt{3}a\sin C = b$，则$A =$(A)

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{4}$
C.$\frac{\pi}{3}$
D.$\frac{\pi}{2}$

答案： 训练A[法一由$a\cos C + \sqrt{3}a\sin C = b$及正
弦定理得
$\sin A\cos C + \sqrt{3}\sin A\sin C = \sin B = \sin(A + C)$
$= \sin A\cos C + \cos A\sin C$，
所以$\sqrt{3}\sin A\sin C = \cos A\sin C$，
因为$\sin C \neq 0$，所以$\sqrt{3}\sin A = \cos A$，$\tan A =$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由$A \in (0,\pi)$，得$A = \frac{\pi}{6}$。
[法二(射影定理)由射影定理知$b = a\cos C +$
$c\cos A$，
所以$a\cos C + \sqrt{3}a\sin C = a\cos C + c\cos A$，
即$\sqrt{3}a\sin C = c\cos A$，
由正弦定理得$\sqrt{3}\sin A\sin C = \sin C\cos A$。
又$\sin C \neq 0$，所以$\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
由$A \in (0,\pi)$，得$A = \frac{\pi}{6}$。