《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点三 全称量词与存在量词
角度 1 含量词命题的否定及真假判断
例 3 (1)(2025·邵阳联考)命题“$\exists x \in \mathbf{R}, x^2 - 4x + 6 ＜ 0$”的否定为 (D)

A.$\exists x \in \mathbf{R}, x^2 - 4x + 6 ＞ 0$
B.$\exists x \in \mathbf{R}, x^2 - 4x + 6 \leq 0$
C.$\forall x \in \mathbf{R}, x^2 - 4x + 6 ＜ 0$
D.$\forall x \in \mathbf{R}, x^2 - 4x + 6 \geq 0$

答案： 例3
(1)D
(2)B [
(1)“∃x∈R,x²−4x+6＜0”的否定为“∀x∈R,x²−4x+6≥0”.
(2)在命题p中，当x=−1时，|x+1|=0，所以命题p为假命题，¬p为真命题.在命题q中，因为立方根等于本身的实数有−1,0,1，所以∃x＞0，使得x³=x，所以命题q为真命题，¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题.]

(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题 $p: \forall x \in \mathbf{R}$，$|x + 1| ＞ 1$；命题 $q: \exists x ＞ 0, x^3 = x$. 则 (B)

A.$p$ 和 $q$ 都是真命题
B.$\neg p$ 和 $q$ 都是真命题
C.$p$ 和 $\neg q$ 都是真命题
D.$\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

答案： 例3
(1)D
(2)B [
(1)“∃x∈R,x²−4x+6＜0”的否定为“∀x∈R,x²−4x+6≥0”.
(2)在命题p中，当x=−1时，|x+1|=0，所以命题p为假命题，¬p为真命题.在命题q中，因为立方根等于本身的实数有−1,0,1，所以∃x＞0，使得x³=x，所以命题q为真命题，¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题.]

角度 2 含量词命题的应用
例 4 (2024·河南百校联考)已知 $p: \forall x \in [-1, 2]$，$x^2 - 2x + a ＜ 0$；$q: \exists x \in \mathbf{R}, x^2 - 4x + a = 0$. 若 $p$ 为假命题，$q$ 为真命题，则 $a$ 的取值范围为 (A)

A.$[-3, 4]$
B.$(-3, 4]$
C.$(-\infty, -3)$
D.$[4, +\infty)$

答案： 例4 A [由题意知,p:∀x∈[−1,2],x²−2x+a＜0为假命题，则¬p:∃x∈[−1,2],x²−2x+a≥0为真命题，当x∈[−1,2]时,y=x²−2x+a的图象的对称轴方程为x=1，此时其最大值为(−1)²+2×(−1)+a=3+a，则3+a≥0，解得a≥−3. 又q:∃x∈R,x²−4x+a=0为真命题，即Δ=16−4a≥0，解得a≤4.综上，a的取值范围为[−3,4].]

(1)(多选)(2025·深圳质检)下列命题中，为真命题的有 (AD)

A.$\forall x ＞ 0, x + \frac{1}{x} \geq 2$
B.$\exists x ＜ 0, x + \frac{1}{x} ＞ -2$
C.$\forall x ＞ 0, \frac{x}{1 + x^2} \geq \frac{1}{2}$
D.$\exists x ＜ 0, \frac{x}{1 + x^2} \leq -\frac{1}{2}$

答案： 训练3
(1)AD
(2)ACD [
(1)对于A，利用基本不等式可得$∀x＞0,x+\frac {1}{x}≥2\sqrt {x·\frac {1}{x}}=2，$当且仅当x=1时，等号成立，故A正确； 对于B，对于∀x＜0，−x＞0，$x+\frac {1}{x}=−(−x+\frac {1}{−x})≤−2\sqrt {−x·\frac {1}{−x}}=−2，$当且仅当x=−1时，等号成立，故命题∃x＜0,x+\frac {1}{x}＞−2为假命题，故B错误； 对于C，易知对于∀x＞0，$\frac {x}{1+x²}+\frac {1}{x}≤\frac {1}{2}$当且仅当x=1时，等号成立，故C错误； 对于D.易知当x=−1时，$\frac {x}{1+x²}−\frac {1}{x}=−\frac {1}{2}，$即∃x＜0,\frac {x}{1+x²}−\frac {1}{x}≤−\frac {1}{2}，故D正确.
(2)命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x−2＜m²−3m”，A正确；命题q的否定是“∀x∈[1,3]，不等式x²−ax+4＞0”，故B错误；若命题p为真命题，则当x∈[0,1]时，$(2x−2)_{min}≥m²−3m，$即m²−3m+2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；若命题q为假命题，则∀x∈[1,3]，x²−ax+4＞0为真命题，即a＜x+\frac {4}{x}在x∈[1,3]时恒成立，因为$x+\frac {4}{x}≥2\sqrt {x·\frac {4}{x}}=4，$当且仅当$x=\frac {4}{x}，$即x=2时取等号，所以a＜4，故D正确.]

(2)(多选)已知命题 $p: \forall x \in [0, 1]$，不等式 $2x - 2 \geq m^2 - 3m$ 恒成立，命题 $q: \exists x \in [1, 3]$，不等式 $x^2 - ax + 4 \leq 0$，则下列说法正确的是 (ACD)

A.命题 $p$ 的否定是“$\exists x \in [0, 1]$，不等式 $2x - 2 ＜ m^2 - 3m$”
B.命题 $q$ 的否定是“$\forall x \in [1, 3]$，不等式 $x^2 - ax + 4 \geq 0$”
C.当命题 $p$ 为真命题时，$1 \leq m \leq 2$
D.当命题 $q$ 为假命题时，$a ＜ 4$

答案： 训练3
(1)AD
(2)ACD [
(1)对于A，利用基本不等式可得$∀x＞0,x+\frac {1}{x}≥2\sqrt {x·\frac {1}{x}}=2，$当且仅当x=1时，等号成立，故A正确； 对于B，对于∀x＜0，−x＞0，$x+\frac {1}{x}=−(−x+\frac {1}{−x})≤−2\sqrt {−x·\frac {1}{−x}}=−2，$当且仅当x=−1时，等号成立，故命题∃x＜0,x+\frac {1}{x}＞−2为假命题，故B错误； 对于C，易知对于∀x＞0，$\frac {x}{1+x²}+\frac {1}{x}≤\frac {1}{2}$当且仅当x=1时，等号成立，故C错误； 对于D.易知当x=−1时，$\frac {x}{1+x²}−\frac {1}{x}=−\frac {1}{2}，$即∃x＜0,\frac {x}{1+x²}−\frac {1}{x}≤−\frac {1}{2}，故D正确.
(2)命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x−2＜m²−3m”，A正确；命题q的否定是“∀x∈[1,3]，不等式x²−ax+4＞0”，故B错误；若命题p为真命题，则当x∈[0,1]时，$(2x−2)_{min}≥m²−3m，$即m²−3m+2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；若命题q为假命题，则∀x∈[1,3]，x²−ax+4＞0为真命题，即a＜x+\frac {4}{x}在x∈[1,3]时恒成立，因为$x+\frac {4}{x}≥2\sqrt {x·\frac {4}{x}}=4，$当且仅当$x=\frac {4}{x}，$即x=2时取等号，所以a＜4，故D正确.]