《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

角度 2 与抛物线有关的最值问题
例 3 (1)若抛物线 $ y^{2}=4x $ 的准线为 $ l $，$ P $ 是抛物线上任意一点，则 $ P $ 到准线 $ l $ 的距离与 $ P $ 到直线 $ 3x + 4y + 7 = 0 $ 的距离之和的最小值是(A)

A.2
B.$ \frac{13}{5} $
C.$ \frac{14}{5} $
D.3

答案： 例3
(1)A [
(1)由抛物线定义可知点$P$到准线$l$的距离等于点$P$到焦点$F$的距离，由抛物线$y^2 = 4x$及直线方程$3x + 4y + 7 = 0$可得直线与抛物线相离，　故点$P$到准线$l$的距离与点$P$到直线$3x + 4y + 7 = 0$的距离之和的最小值为点$F(1,0)$到直线$3x + 4y + 7 = 0$的距离，即$\frac{|3 + 7|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 2$。

(2)(2025·海南调研)已知抛物线 $ C:y^{2}=4x $ 的焦点为 $ F $，$ A $ 为 $ C $ 上一点，$ B $ 为圆 $ M:(x - 3)^{2}+(y - 1)^{2}=1 $ 上一点，则 $ |AB|+|AF| $ 的最小值为____。

答案：
(2)3 [
(2)依题意抛物线$C$的准线方程为$x = -1$，　圆$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1$的圆心为$M(3,1)$，半径为$1$，过$A$作$AA'$垂直于抛物线$C$的准线，垂足为$A'$，　则$|AF| = |AA'|$，所以$|AB| + |AF| = |AB| + |AA'| \geq |AM| - 1 \geq 3 - 1 = 2 \geq 3$，　当$A,A',M$三点共线，且点$B$在$A,M$之间时等号成立。]

(1)已知点 $ F $ 为抛物线 $ C:y^{2}=4x $ 的焦点，过点 $ F $ 的直线 $ l $ 交抛物线 $ C $ 于 $ A,B $ 两点，且 $ \overrightarrow{AF}=t\overrightarrow{FB}(t＞1) $，$ |AB|=\frac{16}{3} $，则 $ t = $3。

答案： 训练2
(1)3 [
(1)由题意得焦点$F(1,0)$，设直线$l$为$x = \lambda y + 1(\lambda \neq 0)$，　代入抛物线方程得$y^2 - 4\lambda y - 4 = 0$。　设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，　则$y_1 y_2 = -4$，①　由$\overrightarrow{AF} = t \overrightarrow{FB}$，即$(1 - x_1, -y_1) = t(x_2 - 1,y_2)$，　有$y_1 = -t y_2$，②
∴由①②得$y_2 = \frac{2}{\sqrt{t}}$，$y_1 = -2\sqrt{t}$或$y_2 = -\frac{2}{\sqrt{t}}$，$y_1 = 2\sqrt{t}$，即$x_1 = t$，$x_2 = \frac{1}{t}$，
∴$|AB| = x_1 + x_2 + p = \frac{1}{t} + t + 2 = \frac{16}{3}$，　化简得$3t^2 - 10t + 3 = 0$，
∴$t = 3$或$t = \frac{1}{3}$(舍)。

(2)(2025·东北三省四市模拟)直线 $ l $ 与抛物线 $ x^{2}=4y $ 交于 $ A,B $ 两点，若 $ |AB| = 6 $，则线段 $ AB $ 的中点 $ M $ 到 $ x $ 轴距离的最小值是____。

答案：

(2)2 [
(2)因为抛物线方程为$x^2 = 4y$，　所以抛物线的焦点为$F(0,1)$，　准线$l_1$的方程为$y = -1$。　如图，过点$A,B$分别向准线$l_1$作垂线，垂足分别为$A_1,B_1$，　连接$AF,BF$，过线段$AB$的中点$M$向准线$l_1$作垂线，垂足为$M_1$，　则$\frac{|AA_1| + |BB_1|}{2} = \frac{|AF| + |BF|}{2} \geq \frac{|AB|}{2} = 3$，　当且仅当直线$l$过焦点$F$时，等号成立。　因为过抛物线焦点的最短弦为通径，且最短弦长为$4$，$6 ＞ 4$，　所以直线$l$能过焦点，即等号成立，　即线段$AB$的中点$M$到准线$y = -1$的距离的最小值为$3$，　所以线段$AB$的中点$M$到$x$轴距离的最小值为$3 - 1 = 2$。　　　　　　　　　 ]

考点三 抛物线的综合问题
例 4 (1)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)抛物线 $ C:y^{2}=4x $ 的准线为 $ l $，$ P $ 为 $ C $ 上动点。过 $ P $ 作 $ \odot A:x^{2}+(y - 4)^{2}=1 $ 的一条切线，$ Q $ 为切点。过 $ P $ 作 $ l $ 的垂线，垂足为 $ B $，则(ABD)

A.$ l $ 与 $ \odot A $ 相切
B.当 $ P,A,B $ 三点共线时，$ |PQ|=\sqrt{15} $
C.当 $ |PB| = 2 $ 时，$ PA\perp AB $
D.满足 $ |PA| = |PB| $ 的点 $ P $ 有且仅有 2 个

答案： 例4
(1)ABD [
(1)对于$A$，易知$l:x = -1$，故$l$与$\odot A$相切，$A$正确；　对于$B$，$A(0,4)$，$\odot A$的半径$r = 1$，　当$P,A,B$三点共线时，$P(4,4)$，　所以$|PA| = 4$，$|PQ| = \sqrt{|PA|^2 - r^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$，故$B$正确；　对于$C$，当$|PB| = 2$时，$P(1,2)$，$B(-1,2)$，或$P(1, -2)$，$B(-1, -2)$，易知$PA$与$AB$不垂直，故$C$错误；　对于$D$，记抛物线$C$的焦点为$F$，连接$AF,PF$，　易知$F(1,0)$，　由抛物线定义可知$|PF| = |PB|$，　因为$|PA| = |PB|$，所以$|PA| = |PF|$，　所以点$P$在线段$AF$的中垂线上，线段$AF$的中垂线方程为$y = \frac{1}{4}x + \frac{15}{8}$，　即$x = 4y - \frac{15}{2}$，　代入$y^2 = 4x$可得$y^2 - 16y + 30 = 0$，　解得$y = 8 \pm \sqrt{34}$，易知满足条件的点$P$有且仅有两个，故$D$正确。

(2)(2025·重庆诊断)设 $ F $ 为抛物线 $ y^{2}=8x $ 的焦点，$ A,B,C $ 为该抛物线上不同的三点，若 $ \overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{OF} $，$ O $ 为坐标原点，则 $ |\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|+|\overrightarrow{FC}| = $____。

答案：
(2)14 [
(2)设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，　易知$p = 4$，$F(2,0)$，　则$\overrightarrow{FA} = (x_1 - 2,y_1)$，$\overrightarrow{FB} = (x_2 - 2,y_2)$，　$\overrightarrow{FC} = (x_3 - 2,y_3)$。　因为$\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{0F}$，　所以$x_1 - 2 + x_2 - 2 + x_3 - 2 = 2$，　即$x_1 + x_2 + x_3 = 8$。　由抛物线的定义可得$|FA| = x_1 + 2$，　$|FB| = x_2 + 2$，$|FC| = x_3 + 2$，　所以$|FA| + |FB| + |FC| = x_1 + x_2 + x_3 + 6 = 14$。]

过抛物线 $ C:x^{2}=2py(p＞0) $ 的焦点 $ F $ 作直线 $ l $ 与抛物线 $ C $ 交于 $ A,B $ 两点，当点 $ A $ 的纵坐标为 1 时，$ |AF| = 2 $。
(1)求抛物线 $ C $ 的方程；
(2)若抛物线 $ C $ 上存在点 $ M(-2,y_{0}) $，使得 $ \overrightarrow{MA}\perp\overrightarrow{MB} $，求直线 $ l $ 的方程。

答案： 训练3 解
(1)抛物线$C:x^2 = 2py(p＞0)$的准线方程为$y = -\frac{p}{2}$，焦点为$F(0,\frac{p}{2})$。
∵当点$A$的纵坐标为$1$时，$|AF| = 2$，
∴$1 + \frac{p}{2} = 2$，解得$p = 2$，
∴抛物线$C$的方程为$x^2 = 4y$。　
(2)
∵点$M(-2,y_0)$在抛物线$C$上，
∴$y_0 = \frac{(-2)^2}{4} = 1$。又$F(0,1)$，　设直线$l$的方程为$y = kx + 1$。　由$\begin{cases} y = kx + 1 \\ x^2 = 4y \end{cases}$得$x^2 - 4kx - 4 = 0$。　设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，　则$x_1 + x_2 = 4k$，$x_1 x_2 = -4$，　$\overrightarrow{MA} = (x_1 + 2,y_1 - 1)$，$\overrightarrow{MB} = (x_2 + 2,y_2 - 1)$。
∵$\overrightarrow{MA} \perp \overrightarrow{MB}$，
∴$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$，
∴$(x_1 + 2)(x_2 + 2) + (y_1 - 1)(y_2 - 1) = 0$，
∴$-4 + 8k + 4 - 4k^2 = 0$，　解得$k = 2$或$k = 0$。　当$k = 0$时，$l$过点$M$，舍去，
∴$k = 2$，
∴直线$l$的方程为$y = 2x + 1$。