《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 函数的零点
(1) 概念: 对于一般函数 $ y = f(x) $，我们把使________的实数 $ x $ 叫做函数 $ y = f(x) $ 的零点.
(2) 函数的零点、函数的图象与 $ x $ 轴的交点、对应方程的根的关系:

答案： 1.
(1)f(x)=0　
(2)x轴　f(x)=0

2. 函数零点存在定理
(1) 条件: ① 函数 $ y = f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线; ②f(a)·f(b)$＜ 0$.
(2) 结论: 函数 $ y = f(x) $ 在区间 $(a, b)$ 内至少有一个零点, 即存在 $ c \in (a, b) $，使得f(c)=0，这个 $ c $ 也就是方程 $ f(x) = 0 $ 的解.

答案： 2.
(1)②f(a)·f(b)　
(2)f(c)=0

1. 思考辨析 (在括号内打“√”或“×”)
(1) 函数 $ f(x) = 2x $ 的零点为 0. (√)
(2) 图象连续的函数 $ y = f(x)(x \in D) $ 在区间 $(a, b) \subseteq D$ 内有零点，则 $ f(a) \cdot f(b) ＜ 0 $. (×)
(3) 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 在 $ b^2 - 4ac ＜ 0 $ 时没有零点. (√)

答案： 1.
(1)√　
(2)×　　
(3)√　[
(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y=f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件，故
(2)错误.]

2. (苏教必修一 P253T8 改编) 函数 $ f(x) = \begin{cases} x^2 + x - 2, x \leq 0, \\ -1 + \ln x, x ＞ 0 \end{cases} $ 的零点个数为 (B)

A.3
B.2
C.7
D.0

答案： 2.B 由$\begin{cases}x\leq0,\\x^{2}+x-2=0,\end{cases} $或$\begin{cases}x＞0,\\-1+\ln x=0,\end{cases}$解得x=-2或x=e，故f(x)有2个零点.

3. (北师大必修一 P132T3(2) 改编) 函数 $ f(x) = \log_2 x + x - 2 $ 的零点所在的区间为 (B)

A.$(0, 1)$
B.$(1, 2)$
C.$(2, 3)$
D.$(3, 4)$

答案： 3.B [函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f
(1)=-1,f
(2)=1，则f
(1)f
(2)＜0，故f(x)的零点所在的区间为(1,2).]

4. (人教 A 必修一 P156T13 改编) 若函数 $ f(x) = 2x + a $ 在 $(-1, 1)$ 内存在一个零点，则 $ a $ 的取值范围是(-2,2).

答案： 4.(-2,2)　[由题意得f(-1)f
(1)=(-2+a)·(2+a)＜0，解得-2＜a＜2.]

考点一 函数零点所在区间的判断
例 1 (1) (2025·东北师大附中模拟) 方程 $ \log_3 x + x = 2 $ 的根所在区间是 (B)

A.$(0, 1)$
B.$(1, 2)$
C.$(2, 3)$
D.$(3, 4)$

答案： 例1
(1)B [
(1)设$f(x)=\log_{3}x+x-2，$则方程$\log_{3}x+x=2$的根所在的区间即为f(x)零点所在的区间.
∵$y=\log_{3}x$与y=x-2在(0，+∞)上均单调递增，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.　对于A，
∵$f(1)=\log_{3}1+1-2=-1，$
∴当x∈(0,1)时,f(x)＜-1，A错误;　对于B，
∵f
(1)=-1＜0，$f(2)=\log_{3}2+2-2=\log_{3}2＞0，$即f
(1)f
(2)＜0，
∴$∃x_{0}∈(1,2)，$使得$f(x_{0})=0，$B正确;　对于C,D，当x＞2时,f(x)＞f
(2)＞0，
∴f(x)在区间(2,3)和(3,4)上无零点，C错误，D错误.]

(2) 若 $ a ＜ b ＜ c $，则函数 $ f(x) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) $ 的两个零点分别位于区间 (A)

A.$(a, b)$ 和 $(b, c)$ 内
B.$(-\infty, a)$ 和 $(a, b)$ 内
C.$(b, c)$ 和 $(c, +\infty)$ 内
D.$(-\infty, a)$ 和 $(c, +\infty)$ 内

答案：
(2)A [
(2)函数y=f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b＜c，则a-b＜0,a-c＜0,b-c＜0，因此f(a)=(a-b)(a-c)＞0，f(b)=(b-c)(b-a)＜0，f(c)=(c-a)(c-b)＞0.所以f(a)f(b)＜0,f(b)f(c)＜0，即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.]