《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

(1) $ f(x) $ 为定义在 $ \mathbf{R} $ 上的可导函数，且 $ f'(x) ＞ f(x) $，对任意正实数 $ a $，下列式子一定成立的是(B)

A.$ f(a) ＜ \mathrm{e}^a f(0) $
B.$ f(a) ＞ \mathrm{e}^a f(0) $
C.$ f(a) ＜ \frac{f(0)}{\mathrm{e}^a} $
D.$ f(a) ＞ \frac{f(0)}{\mathrm{e}^a} $

答案：
(1)B
(2)$(1, +\infty)$
(3)$a ＜ b ＜ c$ [
(1)令 $g(x) = \frac{f(x)}{e^x}$，则 $g'(x) = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x} ＞ 0$。$\therefore g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数，又 $a ＞ 0$，$\therefore g(a) ＞ g(0)$，即 $\frac{f(a)}{e^a} ＞ \frac{f(0)}{e^0}$，故 $f(a) ＞ e^a f(0)$。

(2) 已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ (0, +\infty) $，其导函数为 $ f'(x) $，若 $ xf'(x) - 1 ＜ 0 $，$ f(\mathrm{e}) = 2 $，则关于 $ x $ 的不等式 $ f(\mathrm{e}^x) ＜ x + 1 $ 的解集为(1, +∞).

答案：
(2)设 $F(x) = f(x) - \ln x - 1$，则 $F'(x) = f'(x) - \frac{1}{x} = \frac{xf'(x) - 1}{x} ＜ 0$，$\therefore F(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，又 $F(e) = 0$，$\therefore F(e^x) = f(e^x) - \ln e^x - 1$$= f(e^x) - x - 1 ＜ 0 = F(e)$，$\therefore e^x ＞ e$，得 $x ＞ 1$。$\therefore$ 关于 $x$ 的不等式 $f(e^x) ＜ x + 1$ 的解集为 $(1, +\infty)$。

(3)(2025·杭州调研)已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ f(x) $ 的导函数为 $ f'(x) $，对任意 $ x \in (0, \pi) $，有 $ f'(x)\sin x ＞ f(x)\cos x $，设 $ a = 2f\left(\frac{\pi}{6}\right) $，$ b = \sqrt{2}f\left(\frac{\pi}{4}\right) $，$ c = f\left(\frac{\pi}{2}\right) $，则 $ a, b, c $ 的大小关系为________.

答案：
(3)构造函数$ F(x) = \frac{f(x)}{\sin x}, x \neq k\pi, k \in \mathbf{Z}，$则$ x \in (0, \pi) $时，$F'(x) = \frac{f'(x)\sin x - f(x)\cos x}{\sin^2 x} ＞ 0。$所以函数 F(x) 在$ (0, \pi) $上单调递增，于是$ F(\frac{\pi}{6}) ＜ F(\frac{\pi}{4}) ＜ F(\frac{\pi}{2})，$即$ 2f(\frac{\pi}{6}) ＜ \sqrt{2}f(\frac{\pi}{4}) ＜ f(\frac{\pi}{2})，$所以 a ＜ b ＜ c.]

例 4 若实数 $ a, b, c \in [0, 1] $，且满足 $ a\mathrm{e} = \mathrm{e}^a $，$ b\mathrm{e}^{1.2} = 1.2\mathrm{e}^b $，$ c\mathrm{e}^{1.6} = 1.6\mathrm{e}^c $，则 $ a, b, c $ 的大小关系是(C)

A.$ c ＞ b ＞ a $
B.$ b ＞ a ＞ c $
C.$ a ＞ b ＞ c $
D.$ b ＞ c ＞ a$$$

答案： 例4 C [由 $ae = e^a$，$be^{1.2} = 1.2e^b$，$ce^{1.6} = 1.6e^c$，得 $\frac{a}{e^a} = \frac{1}{e}$，$\frac{b}{e^b} = \frac{1.2}{e^{1.2}}$，$\frac{c}{e^c} = \frac{1.6}{e^{1.6}}$，令 $f(x) = \frac{x}{e^x}$，则 $f'(x) = \frac{1 - x}{e^x}$，当 $x ＜ 1$ 时，$f'(x) ＞ 0$，当 $x ＞ 1$ 时，$f'(x) ＜ 0$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, 1)$ 上单调递增，在 $(1, +\infty)$ 上单调递减，因为 $a, b, c \in [0, 1]$，所以 $f(a) = f(1)$，$f(b) = f(1.2)$，$f(c) = f(1.6)$，又 $1 ＜ 1.2 ＜ 1.6$，且 $f(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上单调递减，所以 $f(1) ＞ f(1.2) ＞ f(1.6)$，即 $f(a) ＞ f(b) ＞ f(c)$，又 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增，所以 $a ＞ b ＞ c$。]

(多选)(2025·江西名校联考)已知 $ x, y \in \mathbf{R} $，若 $ 2(\mathrm{e}^{2y} - \mathrm{e}^x) = (y - x)(y + x + 2) $，则下列关系式能成立的是(BCD)

A.$ y ＞ x ＞ 0 $
B.$ x ＞ y ＞ 0 $
C.$ x ＜ y ＜ 0 $
D.$ x = y = 0$$$

答案： 训练2 BCD [当 $x = y = 0$ 时，等式成立，故 D 成立。若 $2(e^{2y} - e^x) = (y - x)(y + x + 2)$，则 $e^{2y} - \frac{y^2}{2} - y = e^x - \frac{x^2}{2} - x$。设 $f(x) = e^x - \frac{x^2}{2} - x$，则 $f'(x) = e^x - x - 1$，令 $g(x) = e^x - x - 1$，则 $g'(x) = e^x - 1$，当 $x ＜ 0$ 时，$g'(x) ＜ 0$；当 $x ＞ 0$ 时，$g'(x) ＞ 0$。所以 $g(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，所以 $g(x) \geq g(0) = 0$，即 $f'(x) \geq 0$ 恒成立，所以 $f(x)$ 单调递增。当 $y ＞ 0$ 时，$e^x - \frac{x^2}{2} - x = e^{2y} - \frac{y^2}{2} - y$$＞ e^y - \frac{y^2}{2} - y$，即 $f(x) ＞ f(y)$，所以 $x ＞ y ＞ 0$，故 B 成立，A 不成立。当 $y ＜ 0$ 时，$e^x - \frac{x^2}{2} - x = e^{2y} - \frac{y^2}{2} - y ＜ e^y - \frac{y^2}{2} - y$，即 $f(x) ＜ f(y)$，所以 $x ＜ y ＜ 0$，故 C 成立.]

例 5 (2022·新高考Ⅰ卷)设 $ a = 0.1\mathrm{e}^{0.1} $，$ b = \frac{1}{9} $，$ c = -\ln 0.9 $，则(C)

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ c ＜ b ＜ a $
C.$ c ＜ a ＜ b $
D.$ a ＜ c ＜ b$$$

答案： 例5 C [法一 因为 $e^x \geq x + 1$，当且仅当 $x = 0$时，有 $e^x = x + 1$，所以当 $x = -0.1$ 时，$e^{-0.1} ＞ 1 - 0.1 = \frac{9}{10}$，于是 $e^{0.1} ＜ \frac{10}{9}$，$a = 0.1e^{0.1} ＜ \frac{1}{9} = b$。设函数 $f(x) = xe^x + \ln(1 - x)$，则 $f'(x) = (x + 1)e^x - \frac{1}{1 - x} = \frac{(1 - x^2)e^x - 1}{1 - x}$。当 $0 \leq x \leq 0.1$ 时，$(1 - x^2)e^x - 1 \geq (1 - x^2)(x + 1) - 1$$= x(1 - x - x^2) \geq 0$，所以 $f'(x) \geq 0$，$f(x)$ 在 $[0, 0.1]$ 上单调递增，有 $f(0.1) ＞ f(0) = 0$，即 $0.1e^{0.1} + \ln 0.9 ＞ 0$，所以 $a ＞ c$。故 $c ＜ a ＜ b$。法二 使用三个放缩工具：
(1)$1 - \frac{1}{x} \leq \ln x \leq x - 1(x ＞ 0)$，当且仅当 $x = 1$ 时等号成立；
(2)$e^x \geq x + 1$，当且仅当 $x = 0$ 时等号成立；
(3)$\ln x \leq \frac{1}{2}(x - \frac{1}{x})(x \geq 1)$，当且仅当 $x = 1$ 时等号成立。因为 $0.1 = 1 - \frac{9}{10}$，$\ln(1 - \frac{9}{10}) \leq -\frac{9}{10}$，$\frac{10}{9} = 1 + \frac{1}{9}$，$\ln(1 + \frac{1}{9}) \leq \frac{1}{9}$，所以 $\frac{10}{9} ＞ e^{0.1}$，所以 $a = 0.1e^{0.1} ＜ \frac{1}{9} × \frac{10}{9} = \frac{10}{81}$，$c = \ln \frac{10}{9} ＜ \frac{1}{2} × (\frac{10}{9} - \frac{9}{10}) = \frac{19}{180} ＜ 0.11$，故 $c ＜ a$。综上所述，$b ＞ a ＞ c$.]

实数 $ \mathrm{e}^3, 3^\pi, \pi^3 $ 的大小关系为________.

答案： 训练3 $e^3 ＜ \pi^3 ＜ 3^\pi$ [设 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$，则 $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$，当 $x ＞ e$ 时，$f'(x) ＜ 0$，所以 $f(x)$ 在 $(e, +\infty)$ 上单调递减，所以 $f(3) ＞ f(\pi)$，即 $\frac{\ln 3}{3} ＞ \frac{\ln \pi}{\pi}$，所以 $\pi\ln 3 ＞ 3\ln \pi$，所以 $\ln 3^\pi ＞ \ln \pi^3$，即 $3^\pi ＞ \pi^3$。因为 $y = x^3$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，$e ＜ \pi$，所以 $e^3 ＜ \pi^3$，所以 $e^3 ＜ \pi^3 ＜ 3^\pi$.]