《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 3 (2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线 $ C $ 的中心为坐标原点，左焦点为$(-2\sqrt{5},0)$，离心率为$\sqrt{5}$.
(1)求 $ C $ 的方程；
(2)记 $ C $ 的左、右顶点分别为 $ A_{1} $，$ A_{2} $，过点$(-4,0)$的直线与 $ C $ 的左支交于 $ M $，$ N $ 两点，$ M $ 在第二象限，直线 $ MA_{1} $ 与 $ NA_{2} $ 交于点 $ P $，证明：点 $ P $ 在定直线上.$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$点P在定直线$x = - 1$上

答案：
(1)解 设双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$.
$\begin{cases}e=\frac{c}{a}=\sqrt{5},\\c^{2}=a^{2}+b^{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 4.\end{cases}$
所以双曲线C的方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$.
(2)证明 设直线MN的方程为$x = my - 4$,
$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$.
易知$A_1(-2,0),A_2(2,0)$.
联立直线MN与双曲线C的方程,
得$\begin{cases}x = my - 4,\\4x^{2}-y^{2}=16.\end{cases}$消去$x$并整理,得
$(4m^{2}-1)y^{2}-32my + 48 = 0$,
则$y_1 + y_2=\frac{32m}{4m^{2}-1},y_1y_2=\frac{48}{4m^{2}-1}$,
且$4m^{2}-1\neq0,\Delta=(-32m)^{2}-4×48×(4m^{2}-1)$
$=256m^{2}+192＞0$.
直线$MA_1$的方程为$y=\frac{y_1}{x_1 + 2}(x + 2)$,
直线$NA_2$的方程为$y=\frac{y_2}{x_2 - 2}(x - 2)$.
联立直线$MA_1$与直线$NA_2$的方程并消去$y$,
得$\frac{x + 2}{x - 2}=\frac{y_2(x_1 + 2)}{y_1(x_2 - 2)}$,
$\frac{my_1y_2-2(y_1 + y_2)+2y_1}{my_1y_2-6y_1}$
$=\frac{m\cdot\frac{48}{4m^{2}-1}-\frac{32m}{4m^{2}-1}+2y_1}{m\cdot\frac{48}{4m^{2}-1}-6y_1}$
$=\frac{\frac{16m}{4m^{2}-1}+2y_1}{\frac{48m}{4m^{2}-1}-6y_1}=\frac{1}{3}$,
所以$x = - 1$,即点P在定直线$x = - 1$上.

训练 2 (2025·北京西城区模拟节选)已知抛物线 $ C:x^{2} = y $，过点 $ E(0,2) $ 作直线交抛物线 $ C $ 于 $ A $，$ B $ 两点，过 $ A $，$ B $ 两点分别作抛物线 $ C $ 的切线交于点 $ P $.证明：点 $ P $ 在定直线上.点P在定直线$y = - 2$上

答案： 证明 设$A(x_1,x_1^{2}),B(x_2,x_2^{2})$,
则直线AB的斜率$k_{AB}=\frac{x_1^{2}-x_2^{2}}{x_1 - x_2}=x_1 + x_2$,
直线AB的方程为$y - x_1^{2}=(x_1 + x_2)(x - x_1)$,
即$y=(x_1 + x_2)x - x_1x_2$,
又直线AB过点$(0,2)$,
所以$-x_1x_2 = 2$,即$x_1x_2=-2$.
设直线PA的方程为$y - x_1^{2}=k(x - x_1)$,
与抛物线方程$y = x^{2}$联立,
得$\begin{cases}y - x_1^{2}=k(x - x_1),\\y = x^{2}.\end{cases}$
解得$x = x_1$或$x = k - x_1$,
又直线PA与抛物线相切,
所以$k = 2x_1$,即$k = 2x_1$,
所以直线PA的方程为$y - x_1^{2}=2x_1(x - x_1)$,
即$y = 2x_1x - x_1^{2}$,
同理可得直线PB的方程为$y = 2x_2x - x_2^{2}$,
由$\begin{cases}y = 2x_1x - x_1^{2},\\y = 2x_2x - x_2^{2}.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{x_1 + x_2}{2},\\y = x_1x_2.\end{cases}$
所以$P(\frac{x_1 + x_2}{2},x_1x_2)$,
即$P(\frac{x_1 + x_2}{2}, - 2)$,故点P在定直线$y = - 2$上.