《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点一 充分、必要条件的判定
例 1 (1)(2024·天津卷)设 $a, b \in \mathbf{R}$，则“$a^3 = b^3$”是“$3^a = 3^b$”的 (C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 例1
(1)C
(2)AC [
(1)由于函数y=x³和y=3^x都是定义域R上的单调递增，因此a³=b³,3^a=3^b均与a=b等价，从而a³=b³是3^a=3^b的充要条件.
(2)由ab+b−a−1=0，可得(a+1)(b−1)=0，解得a=−1或b=1，故选AC.]

(2)(多选)$ab + b - a - 1 = 0$ 的一个充分不必要条件可以是 (AC)

A.$a = -1$
B.$a = b$
C.$b = 1$
D.$ab = 1$

答案： 例1
(1)C
(2)AC [
(1)由于函数y=x³和y=3^x都是定义域R上的单调递增，因此a³=b³,3^a=3^b均与a=b等价，从而a³=b³是3^a=3^b的充要条件.
(2)由ab+b−a−1=0，可得(a+1)(b−1)=0，解得a=−1或b=1，故选AC.]

(1)(2025·东北师大附中质检)已知 $p: \frac{1}{x} ＜ 1$，$q: x^2 + x - 6 ＞ 0$，则 $p$ 是 $q$ 的 (C)

A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 训练1
(1)C
(2)A [
(1)由$\frac {1}{x}$＜1得x＞1或x＜0，不妨设集合A=(−∞,0)∪(1,+∞).由x²+x−6＞0得x＜−3或x＞2，不妨设集合B=(−∞,−3)∪(2,+∞).因为B⊊A，所以p推不出q，而q能推出p，所以p是q的必要不充分条件.故选C.
(2)当a₁＞0，且q＞1时，有$a_{n+1}−a_n=a_1q^{n}−a_1q^{n−1}=a_1q^{n−1}(q−1)＞0，$所以$a_{n+1}＞a_n(n∈N^*)，$即{a_n}为递增数列；当{a_n}为递增数列时，即对一切n∈N^*，有$a_{n+1}＞a_n$恒成立，即$a_1q^{n−1}(q−1)＞0，$但a₁＜0且0＜q＜1时，上式也成立，显然无法得出a₁＞0，且q＞1.则“a₁＞0，且公比q＞1”是“{a_n}为递增数列”的充分不必要条件.]

(2)在等比数列 $\{a_n\}$ 中，“$a_1 ＞ 0$，且公比 $q ＞ 1$”是“$\{a_n\}$ 为递增数列”的 (A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 训练1
(1)C
(2)A [
(1)由$\frac {1}{x}$＜1得x＞1或x＜0，不妨设集合A=(−∞,0)∪(1,+∞).由x²+x−6＞0得x＜−3或x＞2，不妨设集合B=(−∞,−3)∪(2,+∞).因为B⊊A，所以p推不出q，而q能推出p，所以p是q的必要不充分条件.故选C.
(2)当a₁＞0，且q＞1时，有$a_{n+1}−a_n=a_1q^{n}−a_1q^{n−1}=a_1q^{n−1}(q−1)＞0，$所以$a_{n+1}＞a_n(n∈N^*)，$即{a_n}为递增数列；当{a_n}为递增数列时，即对一切n∈N^*，有$a_{n+1}＞a_n$恒成立，即$a_1q^{n−1}(q−1)＞0，$但a₁＜0且0＜q＜1时，上式也成立，显然无法得出a₁＞0，且q＞1.则“a₁＞0，且公比q＞1”是“{a_n}为递增数列”的充分不必要条件.]

考点二 充分、必要条件的应用
例 2 (2025·西安模拟)若“$x^2 - 5x + 4 ＜ 0$”是“$a - 1 ＜ x ＜ a + 1$”的必要不充分条件，则实数 $a$ 的取值范围是 (B)

A.$(2, 3)$
B.$[2, 3]$
C.$(-2, 3]$
D.$[-2, 3]$

答案： 例2 B [由x²−5x+4＜0，解得1＜x＜4.因为“x²−5x+4＜0”是“a−1＜x＜a+1”的必要不充分条件，所以(a−1,a+1)是(1,4)的真子集，所以$\begin{cases}a−1≥1,\\a+1≤4,\end{cases}$解得2≤a≤3.经验证，端点值满足条件，故实数a的取值范围为[2,3].]

(2025·甘孜州模拟)设 $p: \log_2(x - 1) ＜ m$，$q: \frac{2}{x} ＞ 1$. 若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则 $m$ 的取值范围是 (A)

A.$(-\infty, 0]$
B.$[0, +\infty)$
C.$[-1, +\infty)$
D.$(-\infty, -1]$

答案： 训练2 A [由log₂(x−1)＜m，得0＜x−1＜2^m，即1＜x＜2^m+1.由$\frac {2}{x}＞1，$得0＜x＜2.若p是q的充分不必要条件，则2^m+1≤2，解得m≤0.故选A.]