《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 指数、对数、幂函数模型性质比较

答案： 1.递增 递增 递增 y轴 x轴

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 某种商品进价为每件$ 100 $元，按进价增加$ 10\% $出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利。 (×)
(2) 函数$ y = 2 ^ { x } $的函数值比$ y = x ^ { 2 } $的函数值大。 (×)
(3) 不存在$ x _ { 0 } $，使$ a ^ { x _ { 0 } } ＜ x _ { 0 } ^ { n } ＜ \log _ { a } x _ { 0 } $。 (×)
(4) 在$ ( 0, + \infty ) $上，随着$ x $的增大，$ y = a ^ { x } ( a ＞ 1 ) $的增长速度会超过并远远大于$ y = x ^ { a } ( a ＞ 0 ) $的增长速度。 (√)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√ [
(1)9折出售的售价为$100(1 + 10\%) × \frac{9}{10} = 99$（元）.$\therefore$每件赔1元,
(1)错误.
(2)当$x = 2$时,$2^{x} = x^{2} = 4$.
(2)不正确.
(3)如$a = x_{0} = \frac{1}{2}$,$n = \frac{1}{4}$,不等式成立,因此
(3)错误.]

2. (人教A必修一P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示。假设某商人持有资金$ 120 $万元，他可以在$ t _ { 1 } $至$ t _ { 4 } $的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)。如果他在$ t _ { 4 } $时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是 (D)


A.$ 40 $万元
B.$ 60 $万元
C.$ 80 $万元
D.$ 120 $万元

答案： 2. D [当甲商品的价格为6元时,该商人全部买入甲商品,可以买$120 ÷ 6 = 20$（万份）,在$t_{2}$时刻全部卖出,此时获利$20 × 2 = 40$（万元）;当乙商品的价格为4元时,该商人买入乙商品,可以买$(120 + 40) ÷ 4 = 40$（万份）,在$t_{4}$时刻全部卖出,此时获利$40 × 2 = 80$（万元）.故该商人共获利$40 + 80 = 120$（万元）.]

3. (2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据$ L $和小数记录法的数据$ V $满足$ L = 5 + \lg V $。已知某同学视力的五分记录法的数据为$ 4.9 $，则其视力的小数记录法的数据约为($ \sqrt [ 10 ] { 10 } \approx 1.259 $) (C)

A.$ 1.5 $
B.$ 1.2 $
C.$ 0.8 $
D.$ 0.6 $

答案： 3. C [由题意知$4.9 = 5 + \lg V$,得$\lg V = - 0.1$,得$V = 10^{- 0.1} = \frac{1}{10} × 10^{0.9} \approx 0.8$,所以该同学视力的小数记录法的数据约为$0.8$.]

4. 某商品在最近$ 30 $天内的价格$ f ( t ) $与时间$ t $(单位：天)的函数关系是$ f ( t ) = t + 10 ( 0 ＜ t \leq 30, t \in \mathbf { N } ) $，销售量$ g ( t ) $与时间$ t $的函数关系是$ g ( t ) = - t + 35 ( 0 ＜ t \leq 30, t \in \mathbf { N } ) $，则这种商品的日销售金额的最大值是506。

答案： 4. 506 [日销售金额$y = (-t + 35)(t + 10) = - (t - \frac{25}{2})^{2} + 350 + \frac{625}{4}$$\because t \in \mathbf{N},\therefore t = 12$或$13$时,$y_{\max} = 506$.]