《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

(2)(2025·天津十二区重点学校模拟)$y = f(x)$的大致图象如图，则$f(x)$的解析式可能为()


A.$f(x) = |x^{2} - \sin x|$
B.$f(x) = |x - \sin x|$
C.$f(x) = |2^{x} - 1|$
D.$f(x) = |x^{2} - x - \frac{1}{4}|$

答案： 训练2
(2)A　[
(2)因为f
(0)=0，所以排除D；
C中，因为当x＞0时，f(x)=$2^x$−1为(0,+∞)上的增函数，与所给图象不符，所以排除C；
B中，因为f(−x)=|−x−sin(−x)|=|−x +sinx|=|x−sinx|对x∈R都成立，
所以f(x)为偶函数，与所给图象不符，所以排除B。]

考点三 函数图象的应用
角度1 图象法解方程或不等式
例3 已知定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上的图象如图所示，则不等式$x^{2}f(x) ＞ 2f(x)$的解集为()


A.$(-\sqrt{2},0)\cup(\sqrt{2},2)$
B.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$
C.$(-\infty,-2)\cup(-\sqrt{2},0)\cup(\sqrt{2},2)$
D.$(-2,-\sqrt{2})\cup(0,\sqrt{2})\cup(2,+\infty)$

答案：
例3C[根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(−∞,0)上的图象，
如图所示，
由$x^2f(x)＞2f(x)$，
得($x^2−2$)f(x)＞0，
则$\begin{cases}x^2−2＞0 \\ f(x)＞0\end{cases}$或$\begin{cases}x^2−2＜0 \\ f(x)＜0\end{cases}$
解得x＜−2或−$\sqrt{2}$＜x＜0或$\sqrt{2}$＜x＜2，
故不等式的解集为(−∞,−2)∪(−$\sqrt{2}$,0)∪ ($\sqrt{2}$,2)。

角度2 图象法求参数范围
例4 设$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的函数，$f(x) + x^{2}$是奇函数，$f(x) - x$是偶函数，函数$g(x) = \begin{cases}f(x),x\in[0,1],\\2g(x - 1),x\in(1,+\infty),\end{cases}$若对任意的$x\in[0,m]$，$g(x)\leq3$恒成立，则实数$m$的最大值为()

A.$\frac{13}{3}$
B.$\frac{17}{4}$
C.$\frac{9}{2}$
D.$\frac{14}{3}$

答案：
例4B[因为f(x)+$x^2$是奇函数，f(x)−x是偶函数，
所以$\begin{cases}f(−x)+(−x)^2=−f(x)−x^2 \\ f(−x)−(−x)=f(x)−x\end{cases}$
得f(x)=x−$x^2$。
g(x)=$\begin{cases}f(x), & x∈[0,1] \\ 2g(x−1), & x∈(1,+∞)\end{cases}$
当x∈(1,2]时，x−1∈(0,1]，所以g(x)=2g(x−1)=2f(x−1)。同理，当x∈(2,3]时，g(x)=2g(x−1)=4g(x−2)=4f(x−2)。
以此类推，可以作出g(x)的图象如图所示。
结合图象可得，当x∈(4,5]时，
g(x)=16f(x−4)，由g(x)≤3，
得16(x−4)(5−x)≤3，
解得x≤$\frac{17}{4}$或x≥$\frac{19}{4}$。
因为对任意的x∈[0,m]，
g(x)≤3恒成立，所以0＜m≤$\frac{17}{4}$，
所以实数m的最大值为$\frac{17}{4}$。

训练3 (1)已知函数$y = f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，当$x\in(0,3)\cup(3,+\infty)$时，$f(-x) ＞ 2f(x)$，$f(3) = 0$，则不等式$f(x) ＞ 0$的解集为。
(2)设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果存在正实数$m$，使得对任意$x\in D$，都有$f(x + m) ＞ f(x)$，则称$f(x)$为$D$上的“$m$型增函数”。已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且当$x ＞ 0$时，$f(x) = |x - a| - a(a\in\mathbf{R})$。若$f(x)$为$\mathbf{R}$上的“$20$型增函数”，则实数$a$的取值范围是____。

答案：
训练3
(1)(−∞,−3)∪(−3,0)　
(2)(−∞,5)
[
(1)依题意知，f
(0)=0，
当x∈(0,3)∪(3,+∞)时，f(−x)＞2f(x)，即−f(x)＞2f(x)，得f(x)＜0，
由f
(3)=0，得f(−3)=−f
(3)=0，
由此画出f(x)的大致图象如图所示，
由图可知，不等式f(x)＞0的解集为(−∞,−3)∪(−3,0)。

(2)
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
且当x＞0时，f(x)=|x−a|−a，
∴f(x)=$\begin{cases}|x−a|−a, & x＞0 \\ 0, & x=0 \\ −|x+a|+a, & x＜0\end{cases}$
∵f(x)为R上的“20型增函数”，
∴f(x+20)＞f(x)在R上恒成立。
①当a≤0时，由f(x)的图象(如图1)向左平移20个单位长度得f(x+20)的图象，
显然f(x+20)的图象在f(x)图象的上方，满足f(x+20)＞f(x)。
②当a＞0时，由f(x)的图象(如图2)向左平移20个单位长度得到f(x +20)的图象，要保证f(x+20)的图象在f(x)图象的上方，需满足2a−20＜−2a，
可得0＜a＜5。
综上可知，a的取值范围是(−∞,5)。