《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 1 (1) 函数 $ y = \lg \sin x + \sqrt{\cos x - \frac{1}{2}} $ 的定义域为\left\{x\mid 2k\pi＜x\leqslant\frac{\pi}{3}+2k\pi,k\in \mathbf{Z}\right\}.

答案： 例$1 (1) \left\{x\mid 2k\pi＜x\leqslant\frac{\pi}{3}+2k\pi,k\in \mathbf{Z}\right\}$
[
(1)要使函数有意义，
则有$\begin{cases}\sin x＞0,\\\cos x-\frac{1}{2}\geqslant0,\end{cases}$即$\begin{cases}\sin x＞0,\\\cos x\geqslant\frac{1}{2},\end{cases}$
解得$\begin{cases}2k\pi＜x＜\pi+2k\pi,\frac{\pi}{3}+2k\pi\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{3}+2k\pi.\end{cases}(k\in \mathbf{Z}),$
所以$ 2k\pi＜x\leqslant\frac{\pi}{3}+2k\pi,k\in \mathbf{Z}$
所以函数的定义域为
$\left\{x\mid 2k\pi＜x\leqslant\frac{\pi}{3}+2k\pi,k\in \mathbf{Z}\right\}.$

(2)(2024·全国甲卷)函数 $ f(x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x $ 在 $ [0, \pi] $ 上的最大值是2.

答案：
(2)2 [
(2)由题意知
$f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right),$
当$ x\in[0,\pi]$时，$x-\frac{\pi}{3}\in\left[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$
$\therefore\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\in\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},1\right].$
于是$ f(x)\in[-\sqrt{3},2],$
故 f(x)在$[0,\pi]$上的最大值为 2.]

(3) 函数 $ y = \sin x - \cos x + \sin x \cos x $ 的值域为____.

答案： $(3)\left[-\frac{1}{2}-\sqrt{2},1\right] [(3)$设$ t=\sin x-\cos x，$
则$ t^{2}=\sin^{2}x+\cos^{2}x-2\sin x\cos x，$
$\sin x\cos x=\frac{1-t^{2}}{2},$且$-\sqrt{2}\leqslant t\leqslant\sqrt{2}.$
$\therefore y=\frac{t^{2}}{2}+t+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(t-1)^{2}+1.$
当 t=1 时，$y_{\max}=1；$
当$ t=-\sqrt{2}$时，$y_{\min}=-\frac{1}{2}-\sqrt{2}.$
$\therefore$函数的值域为$\left[-\frac{1}{2}-\sqrt{2},1\right].]$

训练 1 (1) 函数 $ f(x) = -2\tan \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) $ 的定义域是\left\{x\mid x\neq\frac{1}{2}k\pi+\frac{\pi}{6},k\in \mathbf{Z}\right\}.

答案： 训练$1 (1)\left\{x\mid x\neq\frac{1}{2}k\pi+\frac{\pi}{6},k\in \mathbf{Z}\right\}$
[
(1)由$ 2x+\frac{\pi}{6}\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in \mathbf{Z}，$
得$ x\neq\frac{1}{2}k\pi+\frac{\pi}{6},k\in \mathbf{Z}]$

(2)(2024·天津卷改编)已知函数 $ f(x) = \sin 3 \left( \omega x + \frac{\pi}{3} \right) $($ \omega ＞ 0 $)的最小正周期为 $ \pi $，则 $ f(x) $ 在 $ \left[ -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{6} \right] $ 的最小值为\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},2\right].

答案： $(2)\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},2\right] [(2)$由 f(x)的最小正周期为$ \pi，$可得$ \pi=\frac{2\pi}{\omega}$
所以$ \omega=\frac{2}{3}，$
所以$ f(x)=\sin(2x+\pi)=-\sin 2x.$
当$ x\in\left[-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{6}\right]$时$,2x\in\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right]，$
$\sin 2x\in\left[-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right],f(x)\in\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right].$
所以$ f(x)_{\min}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

(3) 当 $ x \in \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} \right] $ 时，函数 $ y = 3 - \sin x - 2\cos^2 x $ 的值域为____.

答案： $(3)\left[\frac{7}{8},2\right] [(3)$因为$ x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right]，$
所以$ \sin x\in\left[-\frac{1}{2},1\right].$
又$ y=3-\sin x-2\cos^{2}x$
$=3-\sin x-2(1-\sin^{2}x)$
$=2\left(\sin x-\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{7}{8}，$
所以当$ \sin x=\frac{1}{4}$时，$y_{\min}=\frac{7}{8}；$
当$ \sin x=-\frac{1}{2}$或$ \sin x=1 $时，$y_{\max}=2.$
即函数的值域为$\left[\frac{7}{8},2\right].]$

例 2 (1)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数 $ f(x) = \sin 2x $ 和 $ g(x) = \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) $，下列说法中正确的有()

A.$ f(x) $ 与 $ g(x) $ 有相同的零点
B.$ f(x) $ 与 $ g(x) $ 有相同的最大值
C.$ f(x) $ 与 $ g(x) $ 有相同的最小正周期
D.$ f(x) $ 与 $ g(x) $ 的图象有相同的对称轴

答案：
(1)BC [
(1)对于 A，令 f(x)=0，
则$ x=\frac{k\pi}{2},k\in \mathbf{Z}，$
又$ g\left(\frac{k\pi}{2}\right)\neq0,$故 A 错误；
对于 B,f(x)与 g(x)的最大值都为 1，故 B
正确；
对于 C,f(x)与 g(x)的最小正周期都为$ \pi，$故
C 正确；
对于 D,f(x)图象的对称轴方程为$ 2x=\frac{\pi}{2}+$
$k\pi,k\in \mathbf{Z},$即$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\in \mathbf{Z}，$
g(x)图象的对称轴方程为$ 2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi，$
$k\in \mathbf{Z},$即$ x=\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},k\in \mathbf{Z}，$
故 f(x)与 g(x)的图象的对称轴不相同，故 D
错误.故选 BC.]

(2) 已知函数 $ f(x) = \sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} + \varphi \right) $ 是奇函数，且 $ \varphi \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $，则 $ \varphi $ 的值为____.

答案： $(2)\frac{\pi}{4} [(2)$由已知，得$\varphi=k\pi+\frac{\pi}{4}(k\in \mathbf{Z})，$
又因为$\varphi\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]，$
所以当 k=0 时，$\varphi=\frac{\pi}{4}$符合题意.]