《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 奇函数、偶函数的对称性
(1) 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
(2) 若$f(x - 2)$是偶函数，则函数$f(x)$图象的对称轴为x=-2；若$f(x - 2)$是奇函数，则函数$f(x)$的图象的对称中心为(-2,0)。

答案： 1.
(1)原点 y轴
(2)x=-2 (-2,0)

2. 若函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = a$对称，则$f(a - x) = f(a + x)$；
若函数$y = f(x)$满足$f(a - x) = -f(a + x)$，则函数的图象关于点(a,0)对称。

答案： 2.(a,0)

3. 两个函数图象的对称
(1) 函数$y = f(x)$与$y = f(-x)$关于y轴对称；
(2) 函数$y = f(x)$与$y = -f(x)$关于x轴对称；
(3) 函数$y = f(x)$与$y = -f(-x)$关于原点对称。

答案： 3.
(1)y轴
(2)x轴
(3)原点

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 函数$y = f(x + 1)$是偶函数，则函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称。(√)
(2) 函数$y = f(x - 1)$是奇函数，则函数$y = f(x)$的图象关于点$(1,0)$对称。(×)
(3) 若函数$f(x)$满足$f(x - 1) + f(x + 1) = 0$，则$f(x)$的图象关于$y$轴对称。(×)
(4) 若函数$f(x)$满足$f(2 + x) = f(2 - x)$，则$f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称。(√)

答案： 1.
(1)√
(2)×
(3)×
(4)√ [
(2)函数$y=f(x-1)$是奇函数，则函数$y=f(x)$的图象关于点$(-1,0)$对称.
(3)由函数$f(x)$满足$f(x-1)+f(x+1)=0$可得$f(x-1)=-f(x+1)$，所以$f(x+2)=-f(x)$，所以$f(-x) \neq f(x)$，故$f(x)$的图象不关于$y$轴对称.]

2. (人教A必修一P87T13改编)函数$f(x) = \frac{x + 1}{x}$图象的对称中心为(B)

A.$(0,0)$
B.$(0,1)$
C.$(1,0)$
D.$(1,1)$

答案： 2.B [因为$f(x)=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$，由$y=\frac{1}{x}$向上平移一个单位长度得到$y=1+\frac{1}{x}$，又$y=\frac{1}{x}$关于$(0,0)$对称，所以$f(x)=1+\frac{1}{x}$的图象关于$(0,1)$对称.]

3. 已知函数$y = f(x + 2) - 3$是奇函数，且$f(4) = 2$，则$f(0) =$4。

答案： 3.4 [法一 由$y=f(x+2)-3$是奇函数，
$\therefore f(-x+2)-3=-f(x+2)+3$，
令$x=2,f(0)-3=-f(4)+3$，得$f(0)=4$.
法二 由$y=f(x+2)-3$是奇函数，
得$f(x)$关于$(2,3)$对称，
故$f(0)+f(4)=6$，即$f(0)=4$.]

4. 若偶函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，且当$x\in[2,3]$时，$f(x) = 2x - 1$，则$f(-1) =$5。

答案： 4.5 [$\because f(x)$为偶函数，$\therefore f(-1)=f(1)$，
由$f(x)$的图象关于$x=2$对称，
可得$f(1)=f(3)=2×3-1=5$，$\therefore f(-1)=5$.]