《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 基本不等式：$\sqrt{ab}\leqslant \frac{a + b}{2}$
(1) 基本不等式成立的条件：$a ＞ 0$，$b ＞ 0$.
(2) 等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.
(3) 其中$\frac{a + b}{2}$叫做正数$a$，$b$的算术平均数，$\sqrt{ab}$叫做正数$a$，$b$的几何平均数.

答案： 1.
(2)a=b
(3)$\frac{a + b}{2}$ $\sqrt{ab}$

2. 两个重要的不等式
(1) $a^2 + b^2\geqslant$2ab$(a,b\in \mathbf{R})$，当且仅当$a = b$时取等号.
(2) $ab\leqslant (\frac{a + b}{2})^2(a,b\in \mathbf{R})$，当且仅当$a = b$时取等号.

答案： 2.
(1)2ab

3. 利用基本不等式求最值
(1) 已知$x$，$y$都是正数，如果积$xy$等于定值$P$，那么当$x = y$时，和$x + y$有最小值2$\sqrt{P}$.
(2) 已知$x$，$y$都是正数，如果和$x + y$等于定值$S$，那么当$x = y$时，积$xy$有最大值$\frac{1}{4}S^{2}$.

答案： 3.
(1)2$\sqrt{P}$
(2)$\frac{1}{4}S^{2}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) 不等式$ab\leqslant (\frac{a + b}{2})^2$与$\frac{a + b}{2}\geqslant \sqrt{ab}$成立的条件是相同的. ()
(2) 函数$y = x + \frac{1}{x}$的最小值是$2$. ()
(3) 函数$y = \sin x + \frac{4}{\sin x}$，$x\in (0,\frac{\pi}{2})$的最小值是$4$. ()
(4) “$x ＞ 0$且$y ＞ 0$”是“$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}\geqslant 2$”的充要条件. ()

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)× [
(1)不等式ab ≤ ($\frac{a + b}{2}$)²成立的条件是a，b ∈ R,$\frac{a + b}{2}$ ≥ $\sqrt{ab}$成立的条件是a ≥ 0,b ≥ 0.
(2)由于x ∈ (-∞,0) ∪ (0,+∞)，故函数y = x + $\frac{1}{x}$无最小值.
(3)由于sin x = $\frac{4}{\sin x}$时sin x = 2无解，故sin x + $\frac{4}{\sin x}$的最小值不为4.
(4)$\frac{y}{x}$ + $\frac{x}{y}$ ≥ 2的充要条件是xy ＞ 0.]

2. (苏教必修一 P58 例 2 改编)已知$x ＞ 1$，则$x + \frac{1}{x - 1}$的最小值为3.

答案： 2.3 [x + $\frac{1}{x - 1}$ = x - 1 + $\frac{1}{x - 1}$ + 1 ≥ 2$\sqrt{(x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1}}$ + 1 = 3，当且仅当x - 1 = $\frac{1}{x - 1}$，即x = 2时等号成立.]

3. (人教 A 必修一 P58T5 改编)若$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且$ab = a + b + 3$，则$ab$的最小值为9.

答案： 3.9 [由ab = a + b + 3 ≥ 2$\sqrt{ab}$ + 3，得ab - 2$\sqrt{ab}$ - 3 ≥ 0，解得$\sqrt{ab}$ ≥ 3($\sqrt{ab}$ ≤ -1舍去)，即ab ≥ 9.当且仅当a = b = 3时取等号.]

4. (北师大必修一 P28 实例分析)把一段长为$16\mathrm{cm}$的细铁丝弯成一个矩形，当矩形的长为4$\mathrm{cm}$，宽为4$\mathrm{cm}$时，面积最大.

答案： 4.4 [设矩形的长为x cm，宽为y cm，则x + y = 8，其面积S = xy ≤ ($\frac{x + y}{2}$)² = 16，当且仅当x = y = 4时等号成立.]

例1 (1) 已知$a$，$b$为正数，$4a^2 + b^2 = 7$，则$a\sqrt{1 + b^2}$的最大值为(D)

A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2$

答案： 例1
(1)D
(2)0 [
(1)因为4a² + b² = 7，则a$\sqrt{1 + b²}$ = $\frac{1}{2}$ × 2a × $\sqrt{1 + b²}$ = $\frac{1}{2}$$\sqrt{4a²(1 + b²)}$ ≤ $\frac{1}{2}$ × $\frac{4a² + 1 + b²}{2}$ = 2，当且仅当4a² = 1 + b²，且4a² + b² = 7，即a = 1,b = $\sqrt{3}$时，等号成立.]

(2) 若$a ＞ -1$，则$\frac{a^2}{a + 1}$的最小值是0.
角度2 常数代换法

答案： 例1
(1)D
(2)0 [
(2)法一 由a ＞ -1可得a + 1 ＞ 0，则$\frac{a²}{a + 1}$ = $\frac{a² - 1 + 1}{a + 1}$ = a - 1 + $\frac{1}{a + 1}$ = a + 1 + $\frac{1}{a + 1}$ - 2 ≥ 2$\sqrt{(a + 1) \cdot \frac{1}{a + 1}}$ - 2 = 0，当且仅当a + 1 = $\frac{1}{a + 1}$，即a = 0时等号成立.法二 由a ＞ -1可得a + 1 ＞ 0,a² ≥ 0，则$\frac{a²}{a + 1}$ ≥ 0，当a = 0时取等号.]