《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

训练(多选)
类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系 $ O - xyz $ 中的一个平面的方程，如果平面 $ \alpha $ 的一个法向量 $ \boldsymbol{n} = (a, b, c) $，已知平面 $ \alpha $ 上定点 $ P_0(x_0, y_0, z_0) $，对于平面 $ \alpha $ 上任意点 $ P(x, y, z) $，根据 $ \overrightarrow{PP_0} \perp \boldsymbol{n} $ 可得平面 $ \alpha $ 的方程为 $ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $. 则在空间直角坐标系 $ O - xyz $ 中，下列说法正确的是 (ABD)

A.若平面 $ \alpha $ 过点 $ (1, 1, 1) $，且法向量为 $ (1, 1, 1) $，则平面 $ \alpha $ 的方程为 $ x + y + z - 3 = 0 $
B.若平面 $ \alpha $ 的方程为 $ 6x - 2y - 2z - 3 = 0 $，则 $ \boldsymbol{a} = (-3, 1, 1) $ 是平面 $ \alpha $ 的法向量
C.方程 $ 3x - 2y = 0 $ 表示经过坐标原点且斜率为 $ \frac{3}{2} $ 的一条直线
D.关于 $ x, y, z $ 的任何一个三元一次方程都表示一个平面

答案： 训练 ABD [对于A，根据题设可知平面$\alpha$的方程为$1×(x - 1)+1×(y - 1)+1×(z - 1)=0$，即为$x + y + z - 3 = 0$，故A正确；
对于B，因为平面$\alpha$的方程为$6x - 2y - 2z - 3 = 0$，由题设可知平面$\alpha$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(6,-2,-2)$；且$\boldsymbol{n}=-2\boldsymbol{a}$，即$\boldsymbol{n}$，$\boldsymbol{a}$共线，
所以$\boldsymbol{a}=(-3,1,1)$是平面$\alpha$的法向量，故B正确；
对于C，$3x - 2y = 0\Leftrightarrow3×(x - 0)-2×(y - 0)+0×(z - 0)=0$，
该方程可表示：一个法向量为$\boldsymbol{m}=(3,-2,0)$且过$(0,0,0)$的平面，故C错误；
对于D，设$ax + by + cz = d(abc\neq0)$，
其等价于$a(x - 0)+b(y - 0)+c\left(z-\frac{d}{c}\right)=0$，该方程可表示：一个法向量为$\boldsymbol{p}=(a,b,c)$且过$\left(0,0,\frac{d}{c}\right)$的平面；故D正确。]