《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点一 数量积的计算
例1 (1)(2025·北京延庆区模拟)已知正方形$ABCD$的边长为$2$，点$P$满足$\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$，则$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}=$(C)

A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$8$

答案：
例1
(1)C[
(1)以$A$为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，正方形$ABCD$的边长为$2$，　　　　　　　　　　 则$A(0,0),C(2,2),D(0,2)$，可得$\overrightarrow{AC}=(2,2)$，$\overrightarrow{AD}=(0,2)$，点$P$满足$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=(1,2)$，所以$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AC}=1×2 + 2×2 = 6.]$

(2)(2025·武汉质检)如图，$B$，$D$是以$AC$为直径的圆上的两点，其中$AB=\sqrt{t + 1}$，$AD=\sqrt{t + 2}$，则$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=$(A)


A.$1$
B.$2$
C.$t$
D.$2t$

答案：
例1
(2)A[
(2)如图所示，连接$BC$，$CD$，则$AD\perp CD,AB\perp BC$.　　　　　　　　　　 所以$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cdot\cos\angle BAC=|\overrightarrow{AB}|\cdot(|\overrightarrow{AC}|\cdot\cos\angle BAC)=|\overrightarrow{AB}|^{2}=t + 1$.$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AD}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cdot\cos\angle CAD=|\overrightarrow{AD}|\cdot(|\overrightarrow{AC}|\cdot\cos\angle CAD)=|\overrightarrow{AD}|^{2}=t + 2$.因为$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=t + 2-(t + 1)=1.]$

(1)(2025·1月八省联考)已知向量$\boldsymbol{a}=(0,1)$，$\boldsymbol{b}=(1,0)$，则$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=$(B)

A.$2$
B.$1$
C.$0$
D.$-1$

答案： 训练1
(1)B[
(1)由已知得$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b})=(0,1)\cdot(-1,1)=1.]$

(2)(2025·泉州调研)已知正方形$ABCD$的边长为$2$，若$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{PC}$，则$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BD}=$(B)

A.$2$
B.$-2$
C.$4$
D.$-4$

答案：
训练1
(2)B[
(2)以点$A$为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则$B(2,0),D(0,2),C(2,2)$.由$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{PC}$可得$P$为$BC$的中点，　　　　　　　　　　 所以$P(2,1)$，则$\overrightarrow{AP}=(2,1)$，又$\overrightarrow{BD}=(-2,2)$，所以$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BD}=2×(-2)+1×2=-2.]$

(3)(2025·宁波调研)已知$\triangle ABC$的外接圆圆心为$O$，$\overrightarrow{AO}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{AB}|$，则$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{BC}$上的投影向量为(D)

A.$-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{BC}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{4}\overrightarrow{BC}$
C.$-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$
D.$\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$

答案：
训练1
(3)D[
(3)因为$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，所以$\triangle ABC$外接圆圆心$O$为$BC$的中点，即$BC$为外接圆的直径，如图，　　　　　　　　　　 又$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AO}|$，所以$\triangle ABO$为等边三角形，则$\angle ACB = 30^{\circ}$，故$|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|\cos30^{\circ}$，所以向量$\overrightarrow{AC}$在向量$\overrightarrow{BC}$上的投影向量为$|\overrightarrow{AC}|\cos30^{\circ}\cdot\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}=|\overrightarrow{BC}|\cdot\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}.]$

考点二 数量积的应用
角度1 夹角与垂直
例2 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量$\boldsymbol{a}=(0,1)$，$\boldsymbol{b}=(2,x)$，若$\boldsymbol{b}\perp(\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})$，则$x=$(D)

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： 例2
(1)D[
(1)法一 因为$\mathbf{b}\perp(\mathbf{b}-4\mathbf{a})$，所以$\mathbf{b}\cdot(\mathbf{b}-4\mathbf{a})=0$，即$\mathbf{b}^{2}=4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$.因为$\mathbf{a}=(0,1),\mathbf{b}=(2,x)$，所以$\mathbf{b}^{2}=4 + x^{2},\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=x$，得$4 + x^{2}=4x$，所以$(x - 2)^{2}=0$，解得$x = 2$，故选D.法二 因为$\mathbf{a}=(0,1),\mathbf{b}=(2,x)$，所以$\mathbf{b}-4\mathbf{a}=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x - 4)$.因为$\mathbf{b}\perp(\mathbf{b}-4\mathbf{a})$，所以$\mathbf{b}\cdot(\mathbf{b}-4\mathbf{a})=0$，所以$2×2+x(x - 4)=0$，所以$(x - 2)^{2}=0$，解得$x = 2$，故选D.]

(2)(2023·全国甲卷)已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1$，$|\boldsymbol{c}|=\sqrt{2}$，且$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，则$\cos\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle=$(D)

A.$-\dfrac{4}{5}$
B.$-\dfrac{2}{5}$
C.$\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
角度2 平面向量的模

答案：
例2
(2)D[
(2)因为向量$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1,|\mathbf{c}|=\sqrt{2}$，且$\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=0$，所以$\mathbf{c}=-\mathbf{a}-\mathbf{b}$，等式两边同时平方得$\mathbf{c}^{2}=\mathbf{a}^{2}+\mathbf{b}^{2}+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$，即$2 = 1+1+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$，解得$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$.法一 $\mathbf{a}-\mathbf{c}=\mathbf{a}-(-\mathbf{a}-\mathbf{b})=2\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{b}-\mathbf{c}=\mathbf{b}-(-\mathbf{a}-\mathbf{b})=\mathbf{a}+2\mathbf{b}$，所以$(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c})=(2\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}+2\mathbf{b})=2\mathbf{a}^{2}+5\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+2\mathbf{b}^{2}=4$，且$|\mathbf{a}-\mathbf{c}|=|2\mathbf{a}+\mathbf{b}|=\sqrt{(2\mathbf{a}+\mathbf{b})^{2}}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5}$，$|\mathbf{b}-\mathbf{c}|=|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|=\sqrt{(\mathbf{a}+2\mathbf{b})^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$，所以$\cos\langle\mathbf{a}-\mathbf{c},\mathbf{b}-\mathbf{c}\rangle=\frac{(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c})}{|\mathbf{a}-\mathbf{c}|\cdot|\mathbf{b}-\mathbf{c}|}=\frac{4}{5}$.法二 如图，令向量$\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$的起点均为$O$，终点分别为$A,B$，以$OA$，$OB$分别为$x,y$轴的正方向建立平面直角坐标系，　　　　　　　　　 则$\mathbf{a}=(1,0)$，$\mathbf{b}=(0,1)$，$\mathbf{c}=-\mathbf{a}-\mathbf{b}=(-1,-1)$，所以$\mathbf{a}-\mathbf{c}=(2,1),\mathbf{b}-\mathbf{c}=(1,2)$，则$\cos\langle\mathbf{a}-\mathbf{c},\mathbf{b}-\mathbf{c}\rangle=\frac{(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c})}{|\mathbf{a}-\mathbf{c}|\cdot|\mathbf{b}-\mathbf{c}|}=\frac{2 + 2}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{4}{5}.]$

例3 (2024·新高考Ⅱ卷)已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}| = 2$，且$(\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a})\perp\boldsymbol{b}$，则$|\boldsymbol{b}|=$(B)

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$

答案： 例3B[由$(\mathbf{b}-2\mathbf{a})\perp\mathbf{b}$，得$(\mathbf{b}-2\mathbf{a})\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}^{2}-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$，所以$\mathbf{b}^{2}=2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$，将$|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|=2$的两边同时平方，得$\mathbf{a}^{2}+4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+4\mathbf{b}^{2}=4$，即$1 + 6×2|\mathbf{b}|^{2}+4×2|\mathbf{b}|^{2}=4$，解得$|\mathbf{b}|^{2}=\frac{1}{2}$，所以$|\mathbf{b}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故选B.]