《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

在$\triangle ABC$中，已知$\frac{\sin A+\sin C}{\sin B}=\frac{b + c}{a}$且满足条件①$a(\sin A-\sin B)=(c - b)\cdot(\sin C+\sin B)$；②$b\cos A + a\cos B = c\sin C$中的一个，试判断$\triangle ABC$的形状，并写出推理过程.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

答案： 训练2 解 由$\frac{\sin A+\sin C}{\sin B}=\frac{b+c}{a}$及正弦定理得$\frac{a+c}{b}=\frac{b+c}{a}$,即$a^{2}+ac=b^{2}+bc$,$\therefore a^{2}-b^{2}+ac-bc=0$,$\therefore a=b$.若选①,则$\bigtriangleup ABC$为等边三角形.推理如下:由$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin C+\sin B)$及正弦定理,得$a(a-b)=(c-b)(c+b)$,即$a^{2}+b^{2}-c^{2}=ab$.由余弦定理的推论得$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}$,又$C\in(0,\pi)$,$\therefore C=\frac{\pi}{3}$,$\therefore\bigtriangleup ABC$为等边三角形.推理如下:$\because b\cos A+a\cos B=b\cdot\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+a\cdot\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=c=c\sin C$,$\therefore\sin C=1$,$\therefore C=\frac{\pi}{2}$,$\therefore\bigtriangleup ABC$为等腰直角三角形.

考点三 三角形的面积、周长
例3 (13分)(2024·新高考Ⅰ卷)记$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\sin C=\sqrt{2}\cos B$，$a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2}ab$.
(1)求$B$；
(2)若$\triangle ABC$的面积为$3+\sqrt{3}$，求$c$.
[思路分析]
(1)利用条件式$a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2}ab$和余弦定理求出$C$，再代入$\sin C=\sqrt{2}\cos B$求$B$.
(2)利用(1)的结果及正弦定理求$a$，代入公式$S=\frac{1}{2}ac\sin B$中求得$c$.
[规范解答]
解 (1)由余弦定理的推论得
$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
根据条件式的结构特征、转化为余弦定理求$C$
(2分)
又$0 ＜ C ＜ \pi$，$\therefore C=\frac{\pi}{4}$，
(3分)
$\therefore\sqrt{2}\cos B=\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
将$C$代入已知等式求$B$
$\therefore\cos B=\frac{1}{2}$.
(5分)
又$0 ＜ B ＜ \pi$，$\therefore B=\frac{\pi}{3}$.
(6分)
(2)由(1)得$A=\pi - B - C=\frac{5\pi}{12}$，
(8分)
由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，
得$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，$\therefore a=\frac{1+\sqrt{3}}{2}c$.
利用正弦定理得到$a$，$c$的关系式
(10分)
$\therefore\triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ac\sin B$
$=\frac{1+\sqrt{3}}{4}c^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3+\sqrt{3}$
利用$\triangle ABC$的面积公式及$a$，$c$的关系式列方程，求$c$
解得$c = 2\sqrt{2}$.
(13分)
[满分规则]
1. 得步骤分
①处的实质是解三角方程，要注意写清楚角的范围，根据范围得到角的值，否则易失步骤分.
2. 得关键分
②处把条件式转化为余弦定理推论的形式是求角$C$的关键.
③处利用正弦定理得到$a$，$c$的关系式是求边$c$的关键.
3. 得计算分
④处涉及$\frac{5\pi}{12}$的正弦值的计算，需转化为特殊角的三角函数值求解.

答案：
(1)求$B$；
(2)若$\triangle ABC$的面积为$3+\sqrt{3}$，求$c$.[思路分析]
(1)利用条件式$a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2}ab$和余弦定理求出$C$，再代入$\sin C=\sqrt{2}\cos B$求$B$.
(2)利用
(1)的结果及正弦定理求$a$，代入公式$S=\frac{1}{2}ac\sin B$中求得$c$.[规范解答]解
(1)由余弦定理的推论得$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{\sqrt{2}}{2}$根据条件式的结构特征、转化为余弦定理求$C$(2分)又$0 ＜ C ＜ \pi$，$\therefore C=\frac{\pi}{4}$，(3分)$\therefore\sqrt{2}\cos B=\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，将$C$代入已知等式求$B$$\therefore\cos B=\frac{1}{2}$.(5分)又$0 ＜ B ＜ \pi$，$\therefore B=\frac{\pi}{3}$.(6分)
(2)由
(1)得$A=\pi - B - C=\frac{5\pi}{12}$，(8分)由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，得$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，$\therefore a=\frac{1+\sqrt{3}}{2}c$.利用正弦定理得到$a$，$c$的关系式(10分)$\therefore\triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ac\sin B$$=\frac{1+\sqrt{3}}{4}c^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3+\sqrt{3}$利用$\triangle ABC$的面积公式及$a$，$c$的关系式列方程，求$c$解得$c = 2\sqrt{2}$.(13分)[满分规则]1. 得步骤分①处的实质是解三角方程，要注意写清楚角的范围，根据范围得到角的值，否则易失步骤分.2. 得关键分②处把条件式转化为余弦定理推论的形式是求角$C$的关键.③处利用正弦定理得到$a$，$c$的关系式是求边$c$的关键.3. 得计算分④处涉及$\frac{5\pi}{12}$的正弦值的计算，需转化为特殊角的三角函数值求解.