《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

角度1 根据函数图象判断极值
例1 (多选)如图是函数 $ y = f(x) $ 的导函数 $ f'(x) $ 的图象，下列说法正确的是()


A.$ f(1) $ 为函数 $ f(x) $ 的极大值
B.当 $ x = -1 $ 时，$ f(x) $ 取得极小值
C.$ f(x) $ 在 $(-1,2)$ 上单调递增，在 $(2,4)$ 上单调递减
D.当 $ x = 3 $ 时，$ f(x) $ 取得极小值BC

答案： 例1 BC [由图象知，当$x\in(-2,-1)$时，$f^{\prime}(x)＜0$，即$f(x)$在$(-2,-1)$上单调递减，当$x\in(-1,2)$时，$f^{\prime}(x)＞0$，即$f(x)$在$(-1,2)$上单调递增，所以当$x=-1$时，$f(x)$取得极小值，故A错误，B正确；当$x\in(2,4)$时，$f^{\prime}(x)＜0$，即$f(x)$在$(2,4)$上单调递减，故C正确，D错误。]

角度2 求已知函数的极值
例2 已知函数 $ f(x) = \ln x + 2ax^2 + 2(a + 1)x(a \neq 0) $，讨论函数 $ f(x) $ 的极值。
思维建模 运用导数求函数 $ f(x) $ 极值的一般步骤：(1)确定函数 $ f(x) $ 的定义域；(2)求导数 $ f'(x) $；(3)解方程 $ f'(x) = 0 $，求出导函数在定义域内的所有根；(4)列表检验 $ f'(x) $ 在 $ f'(x) = 0 $ 的根 $ x_0 $ 左右两侧值的符号；(5)求出极值。

答案： 例2 解 因为$f(x)=\ln x + 2ax^2 + 2(a + 1)x$，所以$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}+4ax + 2a + 2=\frac{(2ax + 1)(2x + 1)}{x}$。若$a＜0$，则当$x\in\left(0,-\frac{1}{2a}\right)$时，$f^{\prime}(x)＞0$；当$x\in\left(-\frac{1}{2a},+\infty\right)$时，$f^{\prime}(x)＜0$，故函数$f(x)$在$\left(0,-\frac{1}{2a}\right)$上单调递增，在$\left(-\frac{1}{2a},+\infty\right)$上单调递减；故$f(x)$在$x=-\frac{1}{2a}$处取得唯一的极大值，且极大值为$f\left(-\frac{1}{2a}\right)=\ln\left(-\frac{1}{2a}\right)-\frac{1}{2a}-1$。若$a＞0$，则当$x\in(0,+\infty)$时，$f^{\prime}(x)＞0$恒成立，故函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，无极值。综上，当$a＜0$时，$f(x)$的极大值为$\ln\left(-\frac{1}{2a}\right)-\frac{1}{2a}-1$，无极小值；当$a＞0$时，$f(x)$无极值。

角度3 由函数的极值求参数
例3 (2024·新高考Ⅱ卷节选)已知函数 $ f(x) = e^x - ax - a^3 $，若 $ f(x) $ 有极小值，且极小值小于 0，求 $ a $ 的取值范围。

答案： 例3 解 易知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f^{\prime}(x)=e^{x}-a$。当$a\leq0$时，$f^{\prime}(x)＞0$，函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，无极值；当$a＞0$时，由$f^{\prime}(x)＞0$，得$x＞\ln a$，由$f^{\prime}(x)＜0$，得$x＜\ln a$，所以函数$f(x)$在$(-\infty,\ln a)$上单调递减，在$(\ln a,+\infty)$上单调递增，所以$f(x)$的极小值为$f(\ln a)=a - a\ln a - a^{3}$。由题意知$a - a\ln a - a^{3}＜0(a＞0)$，等价于$1 - \ln a - a^{2}＜0(a＞0)$。令$g(a)=1 - \ln a - a^{2}(a＞0)$，则$g^{\prime}(a)=-\frac{1}{a}-2a＜0$，所以函数$g(a)$在$(0,+\infty)$上单调递减，又$g(1)=0$，故当$0＜a＜1$时，$g(a)＞0$；当$a＞1$时，$g(a)＜0$。故实数$a$的取值范围为$(1,+\infty)$。

训练1 (1)(2025·咸阳模拟)已知函数 $ f(x) = 2\cos^2\frac{x}{2} + \frac{a}{2}x^2 $，若 $ x = 0 $ 是 $ f(x) $ 的唯一极小值点，则 $ a $ 的取值范围为(A)

A.$[1,+\infty)$
B.$(0,1)$
C.$[-1,+\infty)$
D.$(-\infty,1]$

答案： 训练1
(1)A [因为$f(x)=2\cos^{2}\frac{x}{2}+\frac{a}{2}x^{2}=\cos x + 1+\frac{a}{2}x^{2}$，所以$f^{\prime}(x)=-\sin x + ax$。令$g(x)=f^{\prime}(x)=-\sin x + ax$，则$g^{\prime}(x)=-\cos x + a$。当$a\geqslant1$时，$g^{\prime}(x)=-\cos x + a\geqslant0$，故$g(x)$单调递增，又$g(0)=0$，故当$x＞0$时，$g(x)＞0$；当$x＜0$时，$g(x)＜0$，所以$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增，故$x=0$是函数$f(x)$的唯一极小值点，符合题意；当$a＜1$时，$g^{\prime}(0)= - 1 + a＜0$，故一定存在$m＞0$，使得$g(x)$在$(0,m)$上单调递减，当$x\in(0,m)$时，$g(x)＜g(0)=0$，$f(x)$单调递减，此时$x=0$不是函数$f(x)$的极小值点，不符合题意。综上所述，$a$的取值范围为$[1,+\infty)$。]

(2)已知函数 $ f(x) = \ln x - ax(a \in \mathbf{R}) $，讨论函数 $ f(x) $ 在定义域内极值点的个数。

答案：
(2)解 函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1 - ax}{x}(x＞0)$。当$a\leq0$时，$f^{\prime}(x)＞0$在$(0,+\infty)$上恒成立，则函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，此时函数$f(x)$在定义域上无极值点；当$a＞0$时，若$x\in\left(0,\frac{1}{a}\right)$，则$f^{\prime}(x)＞0$；若$x\in\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$，则$f^{\prime}(x)＜0$，则函数$f(x)$在$\left(0,\frac{1}{a}\right)$上单调递增，在$\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$上单调递减，故函数$f(x)$在$x=\frac{1}{a}$处有极大值。综上可知，当$a\leq0$时，函数$f(x)$无极值点，当$a＞0$时，函数$y = f(x)$有一个极大值点，且为$x=\frac{1}{a}$。