《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 双曲线的定义
(1)平面内与两个定点 $ F_1,F_2 $ 的距离差的绝对值等于非零常数(小于 $ |F_1F_2| $)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
(2)其数学表达式：集合 $ P = \{ M | ||MF_1| - |MF_2|| = 2a \} $，$ |F_1F_2| = 2c $，其中 $ a,c $ 为常数且 $ a ＞ 0,c ＞ 0 $.
①若$a ＜ c$，则集合 $ P $ 为双曲线；
②若 $ a = c $，则集合 $ P $ 为两条射线；
③若$a＞c$，则集合 $ P $ 为空集.

答案： 1.
(1)定点　
(2)①$a ＜ c$ ②两条射线　③$a＞c$

2. 双曲线的标准方程和几何性质

答案： 2.$x\in \mathbf{R},y\leqslant -a$ 或$y\geqslant a$　坐标轴　原点 $A_1(-a,0),A_2(a,0)$ $y = \pm \frac{a}{b}x$ $\frac{c}{a}$ $a^{2}+b^{2}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到 $ (0,m) $ 和 $ (0,-m) $ 的距离之差的绝对值等于 $ 2m(m ＞ 0) $ 的点的轨迹是双曲线. (×)
(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率为 $ \sqrt{2} $. (√)
(3)方程 $ \dfrac{x^2}{m} - \dfrac{y^2}{n} = 1(mn ＞ 0) $ 表示焦点在 $ x $ 轴上的双曲线. (×)
(4)双曲线 $ \dfrac{x^2}{m^2} - \dfrac{y^2}{n^2} = \lambda (m ＞ 0,n ＞ 0,\lambda \neq 0) $ 的渐近线方程是 $ \dfrac{x}{m} \pm \dfrac{y}{n} = 0 $. (√)

答案： 1.
(1)×　
(2)√　
(3)×　
(4)√ [
(1)应该表示的轨迹为两条射线.
(3)当$m＞0,n＞0$时表示焦点在$x$轴上的双曲线，而$m＜0,n＜0$时则表示焦点在$y$轴上的双曲线.]

2. (苏教选修一 P106T3 改编)若双曲线经过点 $ (-\sqrt{3},6) $，且它的两条渐近线方程是 $ y = \pm 3x $，则双曲线的方程是$\frac{y^{2}}{9}-x^{2}=1$.

答案： 2.$\frac{y^{2}}{9}-x^{2}=1$ [由题设，可设双曲线为$x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=m$且$m\neq 0$，又$(-\sqrt{3},6)$在双曲线上，所以$m = 3-\frac{36}{9} = -1$，则双曲线的方程是$\frac{y^{2}}{9}-x^{2}=1$.]

3. (北师大选修一 P68T3 改编)点 $ (3,0) $ 到双曲线 $ \dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1 $ 的一条渐近线的距离为$\frac{9}{5}$.

答案： 3.$\frac{9}{5}$ [双曲线$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$的渐近线方程是$\frac{x}{4}\pm \frac{y}{3}=0$，即$3x\pm 4y = 0$.由点到直线的距离公式，得$\frac{|3 × 3|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{9}{5}$]

4. (人教 A 选修一 P127T1 改编)设 $ P $ 是双曲线 $ \dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{20} = 1 $ 上一点，$ F_1,F_2 $ 分别是双曲线的左、右焦点，若 $ |PF_1| = 9 $，则 $ |PF_2| = $17.

答案： 4.17 [根据双曲线的定义得$||PF_1|-|PF_2|| = 8$，因为$|PF_1| = 9$，所以$|PF_2| = 1$或$|PF_2| = 17$.又$|PF_2|\geqslant c - a = 2$，故$|PF_2| = 17$.]