《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

(1) 根据表格中的数据可以判定方程 $ \ln x - x + 2 = 0 $ 的一个根所在的区间为 (C)


A.$(1, 2)$
B.$(2, 3)$
C.$(3, 4)$
D.$(4, 5)$

答案： 训练1
(1)C [
(1)设$f(x)=\ln x-x+2 =\ln x-(x-2)，$易知函数f(x)在(1,+∞)上的图象连续，由表格数据得$f(1)＞0,f(2)＞0,f(3)=\ln 3-(3-2)=1.099-1=0.099＞0,f(4)=\ln 4-2=1.386-2＜0，$则f
(3)·f
(4)＜0，即在区间(3,4)上，函数f(x)存在一个零点，即方程$\ln x-x+2=0$的一个根所在的区间为(3,4).

(2) (2025·南昌调研) 函数 $ f(x) $ 是函数 $ y = 3^x $ 的反函数，函数 $ g(x) = f(x) + 2^x - 6 $ 的零点为 $ a $，且 $ a \in (n, n + 1)(n \in \mathbf{N}) $，则 $ n = $________.

答案：
(2)2 [
(2)由题可知$,f(x)=\log_{3}x，$则$g(x)=\log_{3}x+2^{x}-6，$所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.又$g(2)=\log_{3}2+2^{2}-6=\log_{3}2-2＜0，$$g(3)=\log_{3}3+2^{3}-6=3＞0，$所以a∈(2,3)，即n=2.]

考点二 函数零点个数的判断
例 2 (1) 函数 $ f(x) = 2^x + x^3 - 2 $ 在区间 $(0, 1)$ 内的零点个数是 (B)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案：
例2
(1)B [
(1)法一
∵f
(0)f
(1)=(-1)×1=-1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.　法二　设$y_{1}=2^{x}，$$y_{2}=2-x^{3}，$在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点.]

(2) 已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数 $ f(x) $ 满足 $ f(2 - x) = f(x) $，当 $ x \in [0, 1] $ 时， $ f(x) = 2^x - 1 $，则方程 $ f(x) = |\log_9 x| $ 的实根的个数为 (C)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案：

(2)C [
(2)由奇函数可知f(2-x)=f(x)=-f(-x)，即f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数，又由f(2-x)=f(x)，得f(x)的图象关于直线x=1对称，作出函数y=|$\log_{9}x$|与函数y=f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，共有5个交点，即方程实根的个数为5.]

(1) (2025·海南质检) 函数 $ y = e^x + x^2 + 2x - 1 $ 的零点个数为 (C)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案：
训练2
(1)C [
(1)函数$y=e^{x}+x^{2}+2x -1$的零点个数即函数$f(x)=e^{x}$与$g(x)=-x^{2}-2x+1$的图象的交点个数，在同一直角坐标系中，分别作出$f(x)=e^{x}$与$g(x)=-x^{2}-2x+1$的图象，如图所示，由图可知，两图象有2个交点，故原函数有2个零点，故选C.]

(2) 函数 $ f(x) $ 是 $ \mathbf{R} $ 上最小正周期为 2 的周期函数，当 $ 0 \leq x ＜ 2 $ 时， $ f(x) = x^2 - x $，则函数 $ y = f(x) $ 的图象在区间 $[-3, 3]$ 上与 $ x $ 轴的交点个数为 (B)

A.6
B.7
C.8
D.9

答案：
(2)B [
(2)令$f(x)=x^{2}-x=0，$即x=0或x=1，所以f
(0)=0,f
(1)=0，因为函数的最小正周期为2，所以f
(2)=0,f
(3)=0,f(-2)=0,f(-1)=0,f(-3)=0，所以函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为7.]