《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

角度3 测量角度问题
例4 已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？

$\left(参考数据:\sin 38^{\circ} \approx \frac{5 \sqrt{3}}{14}, \sin 22^{\circ}=\frac{3 \sqrt{3}}{14}\right)$解　如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,　　　　　　　　　　　则BC=0.5x,AC=5,依题意,AB=3,∠BAC=180°−38°−22°=120°,由余弦定理可得$BC^{2}=AB^{2} + AC^{2} - 2AB \cdot AC\cos 120°$,所以$BC^{2}=49$,所以BC=7,解得x=14.又由正弦定理得$\sin\angle ABC=\frac{AC \cdot \sin\angle BAC}{BC} = \frac{5 × \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{5\sqrt{3}}{14}$,所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,所以BC//AD,故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.

答案：
例4解　如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,　　　　　　　　　　　 则BC=0.5x,AC=5,依题意,AB=3,∠BAC=180°−38°−22°=120°,由余弦定理可得$BC^{2}=AB^{2} + AC^{2} - 2AB \cdot AC\cos 120°$,所以$BC^{2}=49$,所以BC=7,解得x=14.又由正弦定理得$\sin\angle ABC=\frac{AC \cdot \sin\angle BAC}{BC} = \frac{5 × \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{5\sqrt{3}}{14}$,所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,所以BC//AD,故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.

训练2 (1)为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10√3 km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB=75°，∠ACD=120°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，则基站A，B的距离为 (D)

A.10√6 km
B.30(√3-1)km
C.30(√2-1)km
D.10√5 km

答案：
(1)D　[
(1)在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACB=75°,∠ACD=120°,所以∠BCD=45°,∠CAD=30°,∠ADC=∠CAD=30°,所以AC=CD=10$\sqrt{3}$,在△BDC中,∠CBD=180°−(30°+45°+45°)=60°,由正弦定理得$BC=\frac{10\sqrt{3}\sin 75°}{\sin 60°} = 5\sqrt{2} + 5\sqrt{6}$,在△ABC中,由余弦定理得$AB^{2}=AC^{2} + BC^{2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos\angle ACB$=$(10\sqrt{3})^{2} + (5\sqrt{2} + 5\sqrt{6})^{2} - 2 × 10\sqrt{3} × (5\sqrt{2} + 5\sqrt{6})\cos 75° = 500$,所以AB=10$\sqrt{5}$,即基站A,B之间的距离为10$\sqrt{5}$ km.]

(2)(2025·岳阳质检)岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山.因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉.小明为了测量岳阳楼的高度AB，他首先在C处，测得楼顶A的仰角为60°，然后沿BC方向行走22.5米至D处，又测得楼顶A的仰角为30°，则楼高AB为____米.

答案：
(2)$\frac{45\sqrt{3}}{4}$　[
(2)由题可得∠ACB=60°,CD=22.5,∠ADB=30°,在Rt△ABC中,$AC=\frac{AB}{\sin\angle ACB} = \frac{2\sqrt{3}}{3}AB$,$BC=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{3}AB$,在Rt△ABD中,$BD=BC + CD=\frac{\sqrt{3}}{3}AB + 22.5$,所以$\tan\angle ADB=\frac{AB}{BD}$,即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{3}AB + 22.5}$,解得$AB=\frac{45\sqrt{3}}{4}$,所以楼高AB为$\frac{45\sqrt{3}}{4}$米.]