《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

角度 1 直线与平面平行的判定
例 1 如图，在四棱锥 $ P - ABCD $ 中，底面 $ ABCD $ 为梯形，$ AB // CD $，$ PD = AD = AB = 2 $，$ CD = 4 $，$ E $ 为 $ PC $ 的中点.
求证：$ BE // $ 平面 $ PAD $.证明 法一 如图,
取PD的中点F，连接EF、FA.

由题意知EF为△PDC的中位线，∴EF//CD，且EF=$\frac{1}{2}$CD=2.
又∵AB//CD，AB=2，CD=4，∴AB=EF，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE//AF.
又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，
∴BE//平面PAD.
法二 如图，延长DA，CB相交于点H，连接PH.
∵AB//CD，AB=2，

CD=4，
∴$\frac{HB}{HC}$=$\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
即B为HC的中点.
又E为PC的中点，∴BE//PH.
又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，
∴BE//平面PAD.
法三 如图，取CD的中点H，连接BH，HE.
∵E为PC的中点，

∴EH//PD.
又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EH//平面PAD.
又由题意知AB//DH，
∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH//AD.
又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，
∴BH//平面PAD.
又BH∩EH=H，BH，EH⊂平面BHE，
∴平面BHE//平面PAD.
又BE⊂平面BHE，∴BE//平面PAD.

答案：
例1 证明 法一 如图,
取PD的中点F，连接EF、FA.

由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF//CD，且EF=$\frac{1}{2}$CD=2.
又
∵AB//CD，AB=2，CD=4，
∴AB=EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴BE//AF.
又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，
∴BE//平面PAD.
法二 如图，延长DA，CB相交于点H，连接PH.
∵AB//CD，AB=2，

CD=4，
∴$\frac{HB}{HC}$=$\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
即B为HC的中点.
又E为PC的中点，
∴BE//PH.
又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，
∴BE//平面PAD.
法三 如图，取CD的中点H，连接BH，HE.
∵E为PC的中点，

∴EH//PD.
又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EH//平面PAD.
又由题意知AB//DH，
∴四边形ABHD为平行四边形，
∴BH//AD.
又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，
∴BH//平面PAD.
又BH∩EH=H，BH，EH⊂平面BHE，
∴平面BHE//平面PAD.
又BE⊂平面BHE，
∴BE//平面PAD.

角度 2 直线与平面平行的性质
例 2 (2025·宜荆荆恩联考)在四棱锥 $ P - ABCD $ 中，底面 $ ABCD $ 是平行四边形，$ E, F $ 分别为线段 $ PD, PC $ 上的点，且 $ \frac{PE}{ED} = \frac{3}{2} $，若直线 $ BF // $ 平面 $ AEC $，则 $ \frac{PF}{FC} = $____.

答案：
例2 $\frac{1}{2}$　[连接BD，设AC∩BD=O，
连接DF交CE于点G，连接OG.
由于直线BF//平面AEC，BF⊂平面BDF，

平面BDF∩平面AEC=OG，则BF//OG.
由于O是BD的中点，所以$\frac{OB}{OD}$=$\frac{GF}{GD}$=1.
过F作FH//CE，交PD于点H，则$\frac{ED}{GD}$=$\frac{GD}{GF}$=1.
由于$\frac{PE}{ED}$=$\frac{3}{2}$，所以$\frac{PH}{HE}$=$\frac{1}{2}$，
所以$\frac{PF}{FC}$=$\frac{PH}{HE}$=$\frac{1}{2}$.]

如图，四边形 $ ABCD $ 为长方形，$ PD = AB = 2 $，$ AD = 4 $，点 $ E, F $ 分别为 $ AD, PC $ 的中点. 设平面 $ PDC \cap $ 平面 $ PBE = l $. 证明：
(1)$ DF // $ 平面 $ PBE $；
(2)$ DF // l $.证明 (1)取PB中点G，连接FG，EG.
因为点F为PC的中点，
所以FG//BC，

且FG=$\frac{1}{2}$BC.
因为四边形ABCD为长方形，
所以BC//AD，且BC=AD，
所以DE//FG，且DE=FG，
所以四边形DEGF为平行四边形，
所以DF//GE.
因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，
所以DF//平面PBE.
(2)由(1)知DF//平面PBE，
又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE=l，所以DF//l.

答案：
训练1 证明
(1)取PB中点G，连接FG，EG.
因为点F为PC的中点，
所以FG//BC，

且FG=$\frac{1}{2}$BC.
因为四边形ABCD为长方形，
所以BC//AD，且BC=AD，
所以DE//FG，且DE=FG，
所以四边形DEGF为平行四边形，
所以DF//GE.
因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，
所以DF//平面PBE.
(2)由
(1)知DF//平面PBE，
又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE=l，所以DF//l.