《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 3(2025·烟台质检)已知函数 $ f(x) = \sin(\omega x + \varphi)(\omega ＞ 0, |\varphi| \leq \frac{\pi}{2}) $，$ -\frac{\pi}{4} $ 为 $ f(x) $ 的零点，且 $ f(x) \leq |f(\frac{\pi}{4})| $ 恒成立，$ f(x) $ 在区间 $ (-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{24}) $ 上有最小值无最大值，则 $ \omega $ 的最大值是(C)

A.11
B.13
C.15
D.17

答案： 例3 [由题意，直线$x=\frac{\pi}{4}$是$f(x)$的一条对称轴，所以$f(\frac{\pi}{4})=\pm1$，
即$\frac{\pi}{4}\omega+\varphi=k_1\pi+\frac{\pi}{2},k_1\in\mathbf{Z}$， ①
又$f(-\frac{\pi}{4})=0$，
所以$-\frac{\pi}{4}\omega+\varphi=k_2\pi,k_2\in\mathbf{Z}$， ②
由①②，得$\omega=2(k_1-k_2)+1,k_1,k_2\in\mathbf{Z}$，
又$f(x)$在区间$(-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{24})$上有最小值无最大值，所以$T\geq\frac{\pi}{24}-(-\frac{\pi}{12})=\frac{\pi}{8}$，
即$\frac{2\pi}{\omega}\geq\frac{\pi}{8}$，解得$\omega\leq16$.
综上，先检验$\omega=15$，
当$\omega=15$时，由①得$\frac{\pi}{4}×15+\varphi=k_1\pi+\frac{\pi}{2},k_1\in\mathbf{Z}$，
即$\varphi=k_1\pi-\frac{13\pi}{4},k_1\in\mathbf{Z}$，
又$|\varphi|\leq\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=-\frac{\pi}{4}$，
此时$f(x)=\sin(15x-\frac{\pi}{4})$，
当$x\in(-\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{24})$时，
$15x-\frac{\pi}{4}\in(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{8})$，
当$15x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}$，即$x=-\frac{\pi}{60}$时，$f(x)$取得最小值，无最大值，满足题意.故$\omega$的最大值为$15$.]

训练 3(2025·广州模拟)已知函数 $ f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{6})(\omega ＞ 0) $ 在区间 $ (0, \frac{\pi}{2}) $ 内有最大值，但无最小值，则 $ \omega $ 的取值范围是(A)

A.$ (\frac{2}{3}, \frac{8}{3}] $
B.$ [\frac{1}{6}, \frac{5}{6}) $
C.$ (\frac{2}{3}, \frac{5}{6}] $
D.$ [\frac{1}{6}, \frac{8}{3})$$$

答案： 训练3 A [因为$\omega＞0$，所以当$0＜x＜\frac{\pi}{2}$时，
有$\frac{\pi}{6}＜\omega x+\frac{\pi}{6}＜\frac{\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{6}$.
因为$f(x)$在区间$(0,\frac{\pi}{2})$内有最大值，但无最小值，结合函数图象得$\frac{\pi}{2}＜\frac{\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{6}＜\frac{3\pi}{2}$，
解得$\frac{2}{3}＜\omega\leq\frac{8}{3}$.]

例 4（2025·天津模拟）已知函数 $ f(x) = \sin \omega x + \cos \omega x(\omega ＞ 0) $ 满足 $ f(\frac{\pi}{8}) = f(\frac{5\pi}{8}) $。若 $ f(x) $ 在 $ (\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}) $ 上恰好有一个最小值和一个最大值，则 $ \omega = $______；若 $ f(x) $ 在 $ (\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}) $ 上恰好有两个零点，则 $ \omega $ 的取值范围是______。

答案： 例4 $\{\frac{10}{3},4,6\}$ [因为$f(x)=\sin\omega x+\cos\omega x$
$=\sqrt{2}\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$，
设$f(x)$的最小正周期为$T$，
若$f(x)$在$(\frac{\pi}{8},\frac{5\pi}{8})$上恰好有一个最小值和一个最大值，且$f(\frac{\pi}{8})=f(\frac{5\pi}{8})$，
则$T=\frac{5\pi}{8}-\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}$，所以$\omega=\frac{2\pi}{T}=4$.
若$f(x)$在$(\frac{\pi}{8},\frac{5\pi}{8})$上恰好有两个零点，
则$\begin{cases}\frac{T}{2}＜\frac{5\pi}{8}-\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2},\\3×\frac{T}{2}\geq\frac{5\pi}{8}-\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2},\end{cases}$
解得$\frac{\pi}{3}\leq|T|＜\pi$，
即$\frac{\pi}{3}\leq\frac{2\pi}{|\omega|}＜ \pi$，且$\omega＞0$，可得$2＜\omega\leq6$.
当$x\in(\frac{\pi}{8},\frac{5\pi}{8})$时，
$\omega x+\frac{\pi}{4}\in(\frac{\omega\pi}{8}+\frac{\pi}{4},\frac{5\omega\pi}{8}+\frac{\pi}{4})$，
且$\frac{\pi}{2}＜\frac{\omega\pi}{8}+\frac{\pi}{4}\leq\pi$，
$\frac{3\pi}{2}＜\frac{5\omega\pi}{8}+\frac{\pi}{4}\leq4\pi$，
且$f(\frac{\pi}{8})=f(\frac{5\pi}{8})$，可得
$\begin{cases}\pi-(\frac{\omega\pi}{8}+\frac{\pi}{4})=(\frac{5\omega\pi}{8}+\frac{\pi}{4})-2\pi,\\2\pi＜\frac{5\omega\pi}{8}+\frac{\pi}{4}＜3\pi,\\\pi-(\frac{\omega\pi}{8}+\frac{\pi}{4})=3\pi-(\frac{5\omega\pi}{8}+\frac{\pi}{4}),\end{cases}$
或$\begin{cases}\frac{\pi}{2}＜\frac{5\omega\pi}{8}+\frac{\pi}{4}＜3\pi,\frac{5\omega\pi}{8}+\frac{\pi}{4}=\pi,\frac{5\omega\pi}{8}+\frac{\pi}{4}=4\pi,\end{cases}$
解得$\omega=\frac{10}{3}$或$\omega=4$或$\omega=6$，
所以$\omega$的取值范围是$\{\frac{10}{3},4,6\}$.]

训练 4(2025·三湘联合体模拟)若函数 $ f(x) = \cos(\omega x + \frac{\pi}{5})(\omega ＞ 0) $ 在区间 $ (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) $ 上恰有两个零点，则 $ \omega $ 的取值范围是(C)

A.$ (\frac{23}{15}, \frac{11}{5}] $
B.$ [\frac{23}{15}, \frac{11}{5}) $
C.$ (\frac{23}{15}, \frac{11}{5}] \cup [\frac{13}{5}, \frac{43}{15}] $
D.$ [\frac{23}{15},$$\frac{11}{5}) \cup [\frac{13}{5}, \frac{43}{15}) $

答案： 训练4 C [由题可知$\frac{T}{2}＜\frac{3\pi}{2}\leq\frac{\pi}{2}\leq\frac{3T}{2}$，
又$T=\frac{2\pi}{\omega}$，所以$1＜\omega\leq3$.
因为$\frac{\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{5}＜\omega x+\frac{\pi}{5}＜\frac{3\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{5}$，
函数$f(x)=\cos(\omega x+\frac{\pi}{5})$在区间
$(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$上恰有两个零点，
所以$\begin{cases}\frac{\pi}{2}\leq\frac{\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{5}＜\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2}＜\frac{3\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{5}\leq\frac{7\pi}{2},\end{cases}$或$\begin{cases}\frac{3\pi}{2}\leq\frac{\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{5}＜\frac{5\pi}{2},\frac{7\pi}{2}＜\frac{3\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{5}\leq\frac{9\pi}{2},\end{cases}$
解得$\frac{23}{15}＜\omega\leq\frac{11}{5}$或$\frac{13}{5}\leq\omega＜\frac{43}{15}$，
即$\omega$的取值范围为$(\frac{23}{15},\frac{11}{5}]\cup[\frac{13}{5},\frac{43}{15})$.]