《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

例 2 (1) 设 $ a = 2^{0.7} $，$ b = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{0.7} $，$ c = \log_{2}\dfrac{1}{3} $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为(D)

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ c ＜ a ＜ b $
C.$ b ＜ c ＜ a $
D.$ c ＜ b ＜ a $

答案：
(1)D [
(1)由题意知,$a = 2^{0.7} ＞ 2^{0} = 1$,$b = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{0.7} = 3^{-0.7} ＜ 3^{0} = 1$,又$b ＞ 0$,所以$0 ＜ b ＜ 1$,$c = \log_{2}\dfrac{1}{3} ＜ 0$,所以$c ＜ b ＜ a$.]

(2) 已知 $ a = \log_{3}2 $，$ b = \log_{5}2 $，$ c = 3^{a - 1} $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为(B)

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ b ＜ a ＜ c $
C.$ c ＜ a ＜ b $
D.$ c ＜ b ＜ a$$$

答案：
(2)B [
(2)由题意知,$c = 3^{a - 1} = \dfrac{1}{3} × 3^{\log_{3}2} = \dfrac{2}{3}$,$b = \log_{5}2 ＜ \log_{5}\sqrt{5} = \dfrac{1}{2}$,$a = \log_{3}2 ＞ \log_{3}\sqrt{3} = \dfrac{1}{2}$,又$2^{3} ＜ 3^{2}$,则$2 ＜ 3^{\frac{2}{3}}$,$a = \log_{3}2 ＜ \log_{3}3^{\frac{2}{3}} = \dfrac{2}{3}$,所以$b ＜ a ＜ c$.]

(1) (2025·南昌模拟) 已知 $ a = \log_{2}5 $，$ b = \log_{5}2 $，$ c = e^{\frac{1}{2}} $，则(D)

A.$ c ＜ a ＜ b $
B.$ a ＜ c ＜ b $
C.$ a ＜ b ＜ c $
D.$ b ＜ c ＜ a $

答案：
(1)D [
(1)因为$a = \log_{2}5 ＞ \log_{2}4 = 2$,$b = \log_{5}2 ＜ \log_{5}5 = 1$,$1 ＜ c = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} ＜ 2$,所以$b ＜ c ＜ a$.]

(2) (2024·天津二模) 已知 $ a = \log_{\sqrt{3}}2 $，$ b = \log_{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2} $，$ c = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}} $，则(C)

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ c ＞ b ＞ a $
C.$ a ＞ c ＞ b $
D.$ b ＞ c ＞ a$$$

答案：
(2)C [
(2)因为$a = \log_{\sqrt{3}}2 = \dfrac{\ln 2}{\ln \sqrt{3}} = \dfrac{2\ln 2}{\ln 3} = \log_{3}4 ＞ 1$,$b = \log_{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \log_{2}2^{- \frac{1}{2}} = - \dfrac{1}{2}$,$0 ＜ c = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}} ＜ \left(\dfrac{1}{3}\right)^{0} = 1$,故$a ＞ c ＞ b$.]

例 3 (2025·青岛模拟) 已知正数 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ ae^{a} = b\ln b = e^{c}\ln c = 1 $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为(D)

A.$ c ＜ a ＜ b $
B.$ c ＜ b ＜ a $
C.$ a ＜ b ＜ c $
D.$ a ＜ c ＜ b$$$

答案： 例3 D [由$ae^{a} = b\ln b = e^{c}\ln c = 1$，令函数$f(x) = e^{x} - \frac{1}{x},x ＞ 0$，得$f(a) = 0$，则$\frac{1}{2} ＜ a ＜ 1$；令函数$g(x) = \ln x - \frac{1}{x}$，得$g(b) = 0$，则$\frac{3}{2} ＜ b ＜ 2$；令$h(x) = \ln x - \frac{1}{e^{x}}$，得$h(c) = 0$，则$1 ＜ c ＜ \frac{3}{2}$，所以$a ＜ c ＜ b$.]

已知实数 $ a $，$ b $ 满足 $ 2a + 2^{a} ＜ 2b + 2^{b} $，则 $ a $，$ b $ 的大小关系为(C)

A.$ a ＞ b $
B.$ a = b $
C.$ a ＜ b $
D.不能确定

答案： 训练3 C [设$f(x) = 2x + 2^{x},x \in \mathbf{R}$，则$f(a) ＜ f(b)$，因为函数$y = 2x$和$y = 2^{x}$在$\mathbf{R}$上都为增函数，所以函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上为增函数，所以$a ＜ b$.]