《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线. (×)
(2)两个平面$\alpha,\beta$有一个公共点$A$，就说$\alpha,\beta$相交于过$A$点的任意一条直线. (×)
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. (×)
(4)若直线$a$不平行于平面$\alpha$，且$a\not\subset\alpha$，则$\alpha$内的所有直线与$a$异面. (×)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)× [
(1)两条平行直线也没有公共点，故错误.
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.
(4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误.]

2. (人教A必修二P128T2改编)下列命题正确的是(D)

A.空间任意三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.空间两两相交的三条直线确定一个平面
D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面

答案： 2.D [A中，空间不共线的三点确定一个平面，A错；
B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错；
C中，空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面，C错；故只有选项D正确.]

3. (人教A必修二P147例1改编)在长方体$ABCD - A'B'C'D'$中，$AB = BC = 1,AA' = 2$，则异面直线$BA'$与$AC$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$.

答案：
3.$\frac{\sqrt{10}}{10}$ [如图，连接CD'，
易知CD'⊥BA'，
则∠ACD'或其补角是异面直线BA'与AC所成的角，
连接AD'，在△ACD'中，
AC=$\sqrt{2}$，
AD'=CD'=$\sqrt{5}$，
设AC的中点为O，则D'O⊥AC，
故cos∠ACD'=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$.
]

4. (苏教必修二P175T15改编)如图，在三棱锥$A - BCD$中，$E,F,G,H$分别是棱$AB,BC,CD,DA$的中点，则

(1)当$AC,BD$满足条件____时，四边形$EFGH$为菱形；
(2)当$AC,BD$满足条件AC=BD且AC⊥BD时，四边形$EFGH$为正方形.

答案： 4.
(1)AC=BD
(2)AC=BD且AC⊥BD
[
(1)要使四边形EFGH为菱形，应有EF=EH，
∵EF⊥$\frac{1}{2}$AC，EH⊥$\frac{1}{2}$BD，
∴AC=BD.
(2)要使四边形EFGH为正方形，
应有EF=EH且EF⊥EH，
∵EF⊥$\frac{1}{2}$AC，EH⊥$\frac{1}{2}$BD，
∴AC=BD且AC⊥BD.]

考点一 基本事实与推论的应用
例1 已知在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$E,F$分别为$D_1C_1,C_1B_1$的中点，$AC\cap BD = P,A_1C_1\cap EF = Q$.
求证：(1)$D,B,E,F$四点共面；
(2)若$A_1C$交平面$DBFE$于点$R$，则$P,Q,R$三点共线；
(3)$DE,BF,CC_1$三线交于一点.证明 (1)如图所示，连接B₁D₁.因为EF是△D₁B₁C₁的中位线，所以EF//B₁D₁.在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁//BD，所以EF//BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，E，F四点共面.(2)在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，连接AC，设A₁，C，C₁确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A₁C₁，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点.所以α∩β = PQ.又A₁C∩β = R，所以R∈A₁C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.

答案：
例1 证明
(1)如图所示，连接B₁D₁.
因为EF是△D₁B₁C₁的中位线，
所以EF//B₁D₁.
在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，
B₁D₁//BD，所以EF//BD，所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，E，F四点共面.
(2)在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，连接AC，设A₁，C，C₁确定的平面为α，又设平面BDEF为β.
因为Q∈A₁C₁，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点.
所以α∩β = PQ.
又A₁C∩β = R，所以R∈A₁C，R∈α，且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
(3)因为EF//BD且EF＜BD，
所以DE与BF相交，
设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D₁DCC₁，
得M∈平面D₁DCC₁，
同理，M∈平面B₁BCC₁.
又平面D₁DCC₁∩平面B₁BCC₁ = CC₁，
所以M∈CC₁.
所以DE，BF，CC₁三线交于一点.

(1)在三棱锥$A - BCD$的边$AB,BC,CD,DA$上分别取$E,F,G,H$四点，若$EF\cap HG = P$，则点$P$(B)

A.一定在直线$BD$上
B.一定在直线$AC$上
C.在直线$AC$或$BD$上
D.不在直线$AC$上，也不在直线$BD$上

答案：
(1)B [
(1)因为EF∩HG = P，E，F，G，H四点分别是AB，BC，CD，DA上的点，
所以EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，
所以P既在平面ABC内，又在平面ACD内，
所以P在平面ABC和平面ACD的交线上，
又平面ABC∩平面ACD = AC，
所以P∈AC.]

(2)如图，$P,Q,R,S$分别是正方体或四面体所在棱的中点，则在下列图形中，这四个点不共面的一个图是(D)

答案：
(2)D [
(2)A中，由PQ与SR相交，知P，Q，R，S四点共面；
B中，由QR与PS相交，知P，Q，R，S四点共面；
C中，由PQ//SR，知P，Q，R，S四点共面；
D中，由QR和PS是异面直线，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，知四点不共面.]