《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 等比数列的概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式:$\frac{a_n}{a_{n - 1}} =$$q$(n≥2,q为非零常数).
(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,则$G^2 =$$ab$.

答案： 1.
(1)同一个$q$
(2)$ab$

2. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$,公比是q,则其通项公式为$a_n =$$a_1q^{n-1}$;
通项公式的推广:$a_n = a_mq^{n - m}$.
(2)等比数列的前n项和公式:当q = 1时,$S_n = na_1$;当q≠1时,$S_n =$$\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$=\frac{a_1 - a_nq}{1 - q}$.

答案： 2.
(1)$a_1q^{n-1}$
(2)$\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

3. 等比数列的性质
已知$\{a_n\}$是等比数列,$S_n$是数列$\{a_n\}$的前n项和.
(1)若$k + l = m + n(k,l,m,n∈N^*)$,则有$a_k·a_l =$$a_m\cdot a_n$.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即$a_k,a_{k + m},a_{k + 2m},…$仍是等比数列,公比为$q^m$.
(3)当q≠-1,或q = -1且n为奇数时,$S_n,S_{2n} - S_n,S_{3n} - S_{2n},…$仍成等比数列,其公比为$q^n$.
(4)当q＞1,$a_1$＞0或0＜q＜1,$a_1$＜0时,$\{a_n\}$是递增数列;当q＞1,$a_1$＜0或0＜q＜1,$a_1$＞0时,$\{a_n\}$是递减数列.

答案： 3.
(1)$a_m\cdot a_n$
(2)$q^m$
(3)$q^n$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数,它可以是任意实数. (×)
(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是$b^2 = ac$. (×)
(3)数列$\{a_n\}$的通项公式是$a_n = a^n$,则其前n项和为$S_n = \frac{a(1 - a^n)}{1 - a}$. (×)
(4)数列$\{a_n\}$为等比数列,则$S_4,S_8 - S_4,S_{12} - S_8$成等比数列. (×)

答案： 1.
(1)$×$
(2)$×$
(3)$×$
(4)$×$[
(1)在等比数列中,$q\neq0$.
(2)若$a=0,b=0,c=0$满足$b^2=ac$,但$a,b,c$不成等比数列.
(3)当$a=1$时,$S_n=n a$.
(4)若$a_1=1,q=-1$,则$S_4=0,S_8-S_4=0$,$S_{12}-S_8=0$,不成等比数列.]

2. (北师大选修二P29例5(2)改编)等比数列$1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}…$,前10项的和为$\frac{1023}{512}$.

答案： 2.$\frac{1023}{512}$[$S_{10}=\frac{1×[1-(-\frac{1}{2})^{10}]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1023}{512}$]

3. (人教A选修二P37T3改编)在等比数列$\{a_n\}$中,已知$a_2 = 6,6a_1 + a_3 = 30$,则$a_n =$$3\cdot2^{n-1}$或$2\cdot3^{n-1}$.

答案： 3.$3\cdot2^{n-1}$或$2\cdot3^{n-1}$[设数列$\{a_n\}$的公比为$q$,由题意得$\begin{cases}a_1q=6,\\6a_1+a_1q^2=30,\end{cases}$解得$\begin{cases}q=2,\\a_1=3\end{cases}$或$\begin{cases}q=3,\\a_1=2,\end{cases}$故$a_n=3\cdot2^{n-1}$或$a_n=2\cdot3^{n-1}$.]

4. (人教B选修三P37T5拓展)已知等比数列$\{a_n\}$满足$a_4 + a_6 = 10,a_2·a_8 = 2$,则$\frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_6} =$5.

答案： 4.5[$\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_6}=\frac{a_4+a_6}{a_4a_6}=\frac{a_4+a_6}{a_2a_8}=\frac{10}{2}=5$.]