《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

2. (苏教选修一 P13T2) 直线 $y = k(x + 1)(k＞0)$ 可能是(B)

答案： 2.B [因为$k＞0$，故A,C不正确；
　当$x=-1$时，$y=0$，直线过点$(-1,0)$，故选B.]

3. (北师大选修一 P8T3 改编) 已知直线 $l$ 的一个方向向量 $\boldsymbol{v}=(3,1)$，则直线 $l$ 的斜率为(D)

A.$-3$
B.$3$
C.$-\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 3.D [因为$v=(3,1)$，故直线的斜率为$k=\frac{1}{3}$.]

4. (人教 A 选修一 P67 习题 2.2T2 改编) 已知 $A(3,5)$，$B(4,7)$，$C(-1,x)$ 三点共线，则 $x=$-3。

答案： 4.-3　[因为A,B,C三点共线，所以$k_{AB}=k_{AC}$ ，所以$\frac{7 - 5}{4 - 3}=\frac{x - 5}{-1 - 3}$，所以$x=-3$.]

考点一 直线的倾斜角与斜率
例 1 (1) 已知直线 $l$ 的一个方向向量为 $\boldsymbol{p}=(\sin\frac{\pi}{3},\cos\frac{\pi}{3})$，则直线 $l$ 的倾斜角为(A)

A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{2\pi}{3}$
D.$\frac{4\pi}{3}$

答案： 例1
(1)A　[
(1)由题意得，直线$l$的斜率$k=\frac{\cos\frac{\pi}{3}}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan\frac{\pi}{6}$，即直线$l$的倾斜角为$\frac{\pi}{6}$.

(2) 已知两点 $A(2,-3)$，$B(-3,2)$，直线 $l$ 过点 $P(1,1)$ 且与线段 $AB$ 相交，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是(B)

A.$-4\leq k\leq-\frac{1}{4}$
B.$k\leq -4$ 或 $k\geq-\frac{1}{4}$
C.$-4\leq k\leq\frac{3}{4}$
D.$-\frac{3}{4}\leq k\leq 4$

答案：

(2)B [
(2)结合图形,
　　　　
由题意得，所求直线的斜率$k$满足$k\geq k_{PB}$或$k\leq k_{PA}$，即$k\geq\frac{1}{4}$或$k\leq - 4$，即直线的斜率的取值范围是$k\leq - 4$或$k\geq\frac{1}{4}$.

(1) (2025·贵阳调研) 直线 $l_1,l_2$ 的倾斜角分别为 $\alpha,\beta$，则“$\alpha = \beta$”是“$\tan\alpha = \tan\beta$”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 训练1
(1)B　[
(1)由题意知，$\alpha,\beta\in[0,\pi)$，
　所以若$\tan\alpha=\tan\beta$，则$\alpha=\beta$；
　若$\alpha=\beta=\frac{\pi}{2}$，则不存在$\tan\alpha$，$\tan\beta$，就不可能得到$\tan\alpha=\tan\beta$.
　所以“$\alpha=\beta$”是“$\tan\alpha=\tan\beta$”的必要不充分条件.

(2) 直线 $l$ 过点 $P(1,0)$，且与以 $A(2,1)$，$B(0,\sqrt{3})$ 为端点的线段有公共点，则直线 $l$ 斜率的取值范围为$(-\infty,-\sqrt{3}]\cup[1,+\infty)$；倾斜角的取值范围为$[\frac{π}{4},\frac{2π}{3}]$。

答案：

(2)$(-\infty,-\sqrt{3}]\cup[1,+\infty)$，$[\frac{π}{4},\frac{2π}{3}]$
　[
(2)如图，当直线$l$过点B时，
　设直线$l$的斜率为$k_{1}$，
　则$k_{1}=\frac{\sqrt{3}-0}{0 - 1}=-\sqrt{3}$
　　　　　　　　　　　　
当直线$l$过点A时，设直线
　的斜率为$k_{2}$，则$k_{2}=\frac{1 - 0}{2 - 1}=1$，
　所以要使直线$l$与线段AB有公共点，则直线$l$的斜率的取值范围是$(-\infty,-\sqrt{3}]\cup[1,+\infty)$，倾斜角的取值范围是$[\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}]$.

考点二 直线的方程
例 2 求符合下列条件的直线方程：
(1) 直线过点 $A(-1,-3)$，且斜率为 $-\frac{1}{4}$；
(2) 直线过点 $A(0,-1)$ 和 $B(-1,5)$；
(3) 直线过点 $A(2,1)$，且横截距为纵截距的两倍。解　(1)∵所求直线过点A$(-1,-3)$，　且斜率为$-\frac{1}{4}$，　∴所求直线方程为$y + 3=-\frac{1}{4}(x + 1)$，　即$x + 4y + 13 = 0$.　(2)法一(两点式)　由A$(0,-1)$和B$(-1,5)$　得两点式方程为$\frac{y + 1}{5 + 1}=\frac{x - 0}{-1 - 0}$，　整理得$6x + y + 1 = 0$.　法二(点斜式)　由A$(0,-1)$和B$(-1,5)$得$k_{AB}=\frac{5 + 1}{-1 - 0}=-6$，直线方程为$y + 1=-6(x - 0)$，整理得$6x + y + 1 = 0$.　(3)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为$y = kx$，　又直线过点$(2,1)$，∴$1 = 2k$，解得$k=\frac{1}{2}$，

答案： 例2 解　
(1)
∵所求直线过点A$(-1,-3)$，
　且斜率为$-\frac{1}{4}$，
∴所求直线方程为$y + 3=-\frac{1}{4}(x + 1)$，
　即$x + 4y + 13 = 0$.
(2)法一(两点式)　由A$(0,-1)$和B$(-1,5)$
　得两点式方程为$\frac{y + 1}{5 + 1}=\frac{x - 0}{-1 - 0}$，
　整理得$6x + y + 1 = 0$.
　法二(点斜式)　由A$(0,-1)$和B$(-1,5)$得$k_{AB}=\frac{5 + 1}{-1 - 0}=-6$，直线方程为$y + 1=-6(x - 0)$，整理得$6x + y + 1 = 0$.
(3)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为$y = kx$，
　又直线过点$(2,1)$，
∴$1 = 2k$，解得$k=\frac{1}{2}$，
∴直线方程为$y=\frac{1}{2}x$，即$x - 2y = 0$；
　当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，
　由题意可得$\begin{cases}\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1\\a = 2b\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 4\\b = 2\end{cases}$，
∴直线方程为$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$，即$x + 2y - 4 = 0$；
综上，所求直线方程为$x - 2y = 0$或$x + 2y - 4 = 0$.