《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

训练 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆。我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ b ＞ 0)$的蒙日圆方程为$x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$，$M$为蒙日圆上一个动点，过点$M$作椭圆$C$的两条切线，与蒙日圆分别交于$P$，$Q$两点，若$\triangle MPQ$面积的最大值为$4b^{2}$，则椭圆$C$的离心率为(A)

A.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{3}$

答案： 训练A [由已知条件可得$MP\bot MQ$，则$PQ$为圆$x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$的一条直径，则$|MP|^{2} + |MQ|^{2} = |PQ|^{2} = 4(a^{2} + b^{2})$。所以$S_{\triangle MPQ} = \frac{1}{2}|MP| \cdot |MQ| = \frac{|MP|^{2} + |MQ|^{2}}{4} = a^{2} + b^{2}$，当且仅当$|MP| = |MQ|$时，等号成立。所以$a^{2} + b^{2} = 4b^{2}$，即$2a^{2} = 3b^{2} = 3(a^{2} - c^{2})$，所以$e = \frac{\sqrt{6}}{3}$。]