《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

2. (人教 A 必修二 P5T3 改编)(多选)下列说法错误的是(CD)

A.非零向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BA}$是两平行向量
B.若$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}$, 则$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{c}$
C.若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$都是单位向量, 则$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$
D.若两个单位向量平行, 则这两个单位向量相等

答案： 2.CD [易知A,B正确;单位向量a与b的方向均不确定，故C错误;两个单位向量平行，它们的方向可能相反，两个向量不相等,故D错误.]

3. (苏教必修二 P47T17 改编)已知$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$是两个不共线向量, 向量$\boldsymbol{b} - t\boldsymbol{a}$与$\frac{1}{2}\boldsymbol{a} - \frac{3}{2}\boldsymbol{b}$共线, 则实数$t =$$\frac{1}{3}$.

答案： 3.$\frac{1}{3}$ [由题意知,存在实数$\lambda$,使得b−ta=$\lambda(\frac{1}{2}a-\frac{3}{2}b)$,则$\begin{cases}t=-\frac{1}{2}\lambda,\\-\lambda=-\frac{3}{2}\end{cases}$解得$t=\frac{1}{3}$.]

4. (北师大必修二 P89 例 6 改编)如图, 点$O$是$□ ABCD$外一点, 用$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{OD} =$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.

答案： 4.$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ [由于$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}$,因此只需将$\overrightarrow{CD}$用$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$表示,而$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$,故$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OC}+(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.]

考点一 平面向量的概念
例 1 (1)(多选)下列命题正确的有(AD)

A.方向相反的两个非零向量一定共线
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.若两个向量相等, 则它们的起点相同, 终点相同
D.“若$A$, $B$, $C$, $D$是不共线的四点, 且$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$”$\Leftrightarrow$“四边形$ABCD$是平行四边形”

答案： 例1
(1)AD [
(1)方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确;零向量是有方向的，其方向是任意的，故B错误;两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点，故C错误;A,B,C,D是不共线的四点,$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$,即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平行且相等,反之也成立，故D正确.]

(2)设$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$都是非零向量, 下列四个条件中, 使$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$成立的充分条件是(C)

A.$\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{b}$
B.$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$
C.$\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{b}$
D.$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$且$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$

答案： 例1
(2)C [
(2)因为向量$\frac{a}{|a|}$的方向与向量a方向相同,向量$\frac{b}{|b|}$的方向与向量b方向相同,且$\frac{a}{|a|}=\frac{b}{|b|}$,所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A,B,D.当a=2b时,$\frac{a}{|a|}=\frac{2b}{|2b|}=\frac{b}{|b|}$,故a=2b是$\frac{a}{|a|}=\frac{b}{|b|}$成立的充分条件.]

(1)下列命题中正确的是(A)

A.向量$\overrightarrow{AB}$的长度与向量$\overrightarrow{BA}$的长度相等
B.向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$平行, 则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的方向相同或相反
C.$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$同向, 且$|\boldsymbol{a}| ＞ |\boldsymbol{b}|$, 则$\boldsymbol{a} ＞ \boldsymbol{b}$
D.两个终点相同的向量, 一定是共线向量

答案： 训练1
(1)A [
(1)对于A,向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{BA}$的长度相等，方向相反，故A正确;对于B,向量a与b平行,且$\frac{a}{|a|}=\frac{b}{|b|}$时,不满足条件，故B错误;对于C,因为向量是既有大小又有方向的量，所以任意两个向量都不能比较大小，故C错误;对于D,两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故D错误.]

(2)如图所示, $O$是正六边形$ABCDEF$的中心, 则与$\overrightarrow{BC}$相等的向量为(D)


A.$\overrightarrow{BA}$
B.$\overrightarrow{CD}$
C.$\overrightarrow{AD}$
D.$\overrightarrow{OD}$

答案： 训练1
(2)D [
(2)A,B选项均与$\overrightarrow{BC}$方向不同,C选项与$\overrightarrow{BC}$长度不相等,D选项与$\overrightarrow{BC}$方向相同，长度相等.]

考点二 平面向量的线性运算
例 2 (1)(2025·深圳模拟)在$\triangle ABC$中, $D$是线段$AB$上靠近$B$的四等分点, $E$是线段$CD$上靠近$D$的三等分点, 则$\overrightarrow{AE} =$(C)

A.$-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$
B.$\frac{1}{2}\overrightarrow{CA} - \frac{5}{6}\overrightarrow{CB}$
C.$-\frac{5}{6}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$
D.$-\frac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CB}$

答案：
例2
(1)C [
(1)如图，由题意得$\overrightarrow{CE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{AD}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$。

故$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$-\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})$=$-\frac{5}{6}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$.]

(2)(2025·大连双基测试)在$\triangle ABC$中, 若$\overrightarrow{AD} = m\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \lambda\overrightarrow{CB}$, 则$\lambda =$(A)

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$-\frac{1}{3}$
D.$-\frac{2}{3}$

答案：
例2
(2)A [
(2)法一 若$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{DB}$,则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=(\frac{1}{m}+1)\overrightarrow{AD}$,可得$\overrightarrow{AD}=\frac{m}{1+m}\overrightarrow{AB}$,
∴$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+\frac{m}{1+m}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CA}+\frac{m}{1+m}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})$=$\frac{1}{1+m}\overrightarrow{CA}+\frac{m}{1+m}\overrightarrow{CB}$,结合题意，得$\frac{1}{1+m}=\frac{1}{3}$,$\frac{m}{1+m}=\lambda$,解得m=2，$\lambda=\frac{2}{3}$.
法二 过点D作DM//BC,DN//AC,分别交AC、BC于点M,N.

∵$\overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{DB}$,
∴点D在AB上,又$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\lambda\overrightarrow{CB}$,
∴M为线段AC上靠近C的三等分点,如图,CD为平行四边形CMDN的对角线,
∴D为线段AB上靠近B的三等分点,
∴N为线段BC上靠近B的三等分点,
∴$\lambda=\frac{2}{3}$]

(1)(2025·长沙调研)已知$D$是$\triangle ABC$所在平面内一点, $\overrightarrow{AD} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$, 则(A)

A.$\overrightarrow{BD} = \frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$
B.$\overrightarrow{BD} = \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$
C.$\overrightarrow{BD} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$
D.$\overrightarrow{BD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$

答案： 训练2
(1)A [
(1)由$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$,得$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$,得$\overrightarrow{BD}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$,得$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{5}(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$.]

(2)(2025·西安模拟)在$\triangle ABC$中, $D$在$BC$上, 且$\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC}$, $E$在$AD$上, 且$\overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{AE}$. 若$\overrightarrow{BE} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$, 则$x + y =$(C)

A.$\frac{13}{12}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$-\frac{3}{4}$
D.$-\frac{13}{12}$

答案：
训练2
(2)C [
(2)因为$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$,所以$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$,

则$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.又$\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AE}$,所以$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$,则$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=-\frac{11}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$,又$\overrightarrow{BE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$,所以$x=-\frac{11}{12}$,$y=\frac{1}{6}$,则$x+y=-\frac{11}{12}+\frac{1}{6}=-\frac{3}{4}$]