《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

1. 直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.
(2)判断直线$l$与圆锥曲线$C$的位置关系时，通常将直线$l$的方程$Ax + By + C = 0$代入圆锥曲线$C$的方程.消去$y$(或$x$)得到一个关于变量$x$(或$y$)的方程$ax^{2}+bx + c = 0$(或$ay^{2}+by + c = 0$).
①当$a\neq0$时，可考虑一元二次方程的判别式$\Delta$，有$\Delta＞0$时，直线$l$与曲线$C$相交；$\Delta = 0$时，直线$l$与曲线$C$相切；$\Delta＜0$时，直线$l$与曲线$C$相离.
②当$a = 0$时，即得到一个一次方程，则$l$与$C$相交，且只有一个交点，此时，若$C$为双曲线，则直线$l$与双曲线的渐近线平行；若$C$为抛物线，则直线$l$与抛物线的对称轴平行或重合.

答案： 1.
(1)相交　相切　相离　
(2)①相交　相切　相离　②渐近线　对称轴

2. 圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$\vert AB\vert=$$\sqrt{1 + k^{2}}\left|x_{1} - x_{2}\right|$$=$$\sqrt{(1 + k^{2})[(x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2}]}$或$\vert AB\vert=$$\sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}}}\left|y_{1} - y_{2}\right|$$=$$\sqrt{(1 + \frac{1}{k^{2}})[(y_{1} + y_{2})^{2} - 4y_{1}y_{2}]}$，$k$为直线斜率且$k\neq0$.

答案： 2.$\sqrt{1 + k^{2}}\left|x_{1} - x_{2}\right|$ $\sqrt{(1 + k^{2})[(x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2}]}$ $\sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}}}\left|y_{1} - y_{2}\right|$ $\sqrt{(1 + \frac{1}{k^{2}})[(y_{1} + y_{2})^{2} - 4y_{1}y_{2}]}$

3. 中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.
(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论.
(2)点差法：若直线$l$与椭圆$C$有两个交点$A$，$B$，一般地，首先设出$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，$AB$中点$M(x_{0},y_{0})$，直线$AB$的斜率$k$，将点$A$，$B$代入圆锥曲线的方程，两式相减，整理得(分别以$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，$y^{2}=2px$为例)，椭圆中$k = -\frac{b^{2}}{a^{2}}\cdot\frac{x_{0}}{y_{0}}$；双曲线中$k =$$\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{x_{0}}{y_{0}}$；抛物线中$k =$$\frac{p}{y_{0}}$.

答案： 3.
(2)$\frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{x_{0}}{y_{0}}$ $\frac{p}{y_{0}}$

1. 思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线与圆锥曲线的三种位置关系：相离、相切、相交. (√)
(2)直线$y = x$与椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$一定相交. (√)
(3)“直线$l$与双曲线$C$相切”的充要条件是“直线$l$与双曲线$C$只有一个公共点”. (×)
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切. (×)

答案： 1.
(1)√　
(2)√　
(3)×　
(4)× [
(3)当“直线$l$与双曲线$C$只有一个公共点”成立时，则与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点或者直线$l$与双曲线相切有一个交点.
(4)直线与抛物线的对称轴平行时也只有一个交点.]

2. (北师大选修一 P83T1 原题)方程$y(y - x)=2$所表示的曲线 (C)

A.关于$y$轴对称
B.关于直线$x + y = 0$对称
C.关于原点对称
D.关于直线$x - y = 0$对称

答案： 2.C[将$(-x,y)$代入原方程得$y(y + x) = 2$，A 错误； 将$(-y,-x)$代入原方程得$x(x - y) = 2$，B 错误； 将$(-x,-y)$代入原方程得$y(y - x) = 2$，C 正确； 将$(y,x)$代入原方程得$x(x - y) = 2$，D 错误.]

3. (苏教选修一 P124T10 改编)直线$y = kx + 2$与椭圆$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$有且只有一个交点，则$k$的值是 (C)

A.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
B.$-\frac{\sqrt{6}}{3}$
C.$\pm\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 3.C[由$\begin{cases}y = kx + 2\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1\end{cases}$ 得$(2 + 3k^{2})x^{2} + 12kx + 6 = 0$， 由题意知$\Delta = (12k)^{2} - 4 × 6 × (2 + 3k^{2}) = 0$， 解得$k = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$]

4. (人教 A 选修一 P114T2 改编)经过椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左焦点$F_{1}$作倾斜角为$60^{\circ}$的直线$l$，直线$l$与椭圆相交于$A$，$B$两点，则线段$AB$的长为$\frac{8\sqrt{2}}{7}$.

答案： 4.$\frac{8\sqrt{2}}{7}$ [在$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$中，$a^{2} = 2$，$b^{2} = 1$， 所以$c^{2} = a^{2} - b^{2} = 1$，即$c = 1$， 故左焦点为$F_{1}(-1,0)$， 而$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$， 故直线$l$为$y = \sqrt{3}(x + 1)$， 联立$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$得，$7x^{2} + 12x + 4 = 0$， 设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，由根与系数的关系得$x_{1} + x_{2} = -\frac{12}{7}$，$x_{1}x_{2} = \frac{4}{7}$. 则由弦长公式得 $|AB| = \sqrt{1 + (\sqrt{3})^{2}} \cdot \sqrt{(-\frac{12}{7})^{2} - 4 × \frac{4}{7}}=\frac{8\sqrt{2}}{7}$]