《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

训练 2 (2025·福建九地市质检)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，且$a\sin C = c\sin B$，$C=\frac{2\pi}{3}$.
(1)求$B$的大小；
(2)若$\triangle ABC$的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求$BC$边上中线的长.$\frac{\pi}{6}$$\frac{\sqrt{21}}{2}$

答案：
训练2 解
(1)$\because a\sin C=c\sin B$，
$\therefore$由正弦定理，得$\sin A\sin C=\sin C\sin B$，
$\because0＜C＜\pi$,$\therefore\sin C＞0$,$\therefore\sin A=\sin B$，
$\because0＜A＜\pi$,$0＜B＜\pi$，
$\therefore A=B$或$A+B=\pi$(舍去)，
$\because A+B+C=\pi$,且$C=\frac{2\pi}{3}$,$\therefore B=\frac{\pi}{6}$.
(2)依题意得$\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}ab\sin C$，
$\because A=B$,$\therefore a=b$，
$\therefore\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a^{2}\sin\frac{2\pi}{3}$,得$a=b=\sqrt{3}$，
由正弦定理，得$c=\frac{a\sin C}{\sin A}=3$，
设$BC$的中点为$D$，连接$AD$,如图，
因为$AD^{2}=\frac{1}{4}(AB^{2}+AC^{2}+2AB\cdot AC\cos\angle CAB)$，

解得$AD=\frac{\sqrt{21}}{2}$.

例 3 (2025·江西重点中学协作体联考)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，其外接圆的半径为$2\sqrt{3}$，且$b\cos C = a+\frac{\sqrt{3}}{3}c\sin B$.
(1)求角$B$；
(2)若$\angle ABC$的平分线交$AC$于点$D$，$BD = \sqrt{3}$，点$E$在线段$AC$上，且$EC = 2EA$，求$\triangle BDE$的面积.$\frac{2\pi}{3}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案：
例3 解
(1)由正弦定理可得
$\sin B\cos C=\sin A+\frac{\sqrt{3}}{3}\sin C\sin B$.
又$\sin A=\sin(B+C)$
$=\sin B\cos C+\cos B\sin C$，
则$\cos B\sin C+\frac{\sqrt{3}}{3}\sin C\sin B=0$.
$\because C\in(0,\pi)$,$\therefore\sin C\neq0$，
$\therefore\cos B+\frac{\sqrt{3}}{3}\sin B=0$，
即$\tan B=-\sqrt{3}$.
又$B\in(0,\pi)$,$\therefore B=\frac{2\pi}{3}$.
(2)由
(1)可知$B=\frac{2\pi}{3}$,
又$\triangle ABC$的外接圆的半径为$2\sqrt{3}$，
$\therefore$由正弦定理得$\frac{b}{\sin B}=4\sqrt{3}$,所以$b=6$，
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore\angle CBD=\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{\pi}{3}$.
由$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}+S_{\triangle ABD}$，
可得$\frac{1}{2}ac\sin\frac{2\pi}{3}$
$=\frac{1}{2}a\cdot\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{3}+\frac{1}{2}c\cdot\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{3}$
即$ac=\sqrt{3}(a+c)$, ①
由余弦定理得$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos\frac{2\pi}{3}$
即$(a+c)^{2}-ac=36$， ②
由①②可得$a=c=2\sqrt{3}$.
所以$BD\perp AC$,又$\because EC=2AE$,则$DE=1$，
故$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.