《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

考点一 利用函数图象刻画实际问题的变化过程
例1(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度。药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间。已知成人单次服用$ 1 $单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：

根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中正确的是(ABC)

A.首次服用$ 1 $单位该药物，约$ 10 $分钟后药物发挥治疗作用
B.每次服用$ 1 $单位该药物，两次服药间隔小于$ 2 $小时时，一定会产生药物中毒
C.首次服用$ 1 $单位该药物，约$ 5.5 $小时后第二次服用$ 1 $单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用$ 1 $单位该药物，$ 3 $小时后再次服用$ 1 $单位该药物，不会发生药物中毒ABC

答案： 例1 ABC [从图象中可以看出,首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确;根据图象可知,首次服用1单位该药物,约1小时后血药浓度达到最大值,由图象可知,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确;服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确;首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.]

已知正方形$ ABCD$$$的边长为$ 4 $，动点$ P $从$ B $点开始沿折线$ BCDA $向$ A $点运动。设点$ P $运动的路程为$ x $，$ \triangle ABP $的面积为$ S $，则函数$ S = f ( x ) $的图象是(D)


A.
B.
C.
D.

答案： 训练1 D [依题意知,当$0 \leqslant x \leqslant 4$时,$f(x) = 2x$;当$4 ＜ x \leqslant 8$时,$f(x) = 8$;当$8 ＜ x \leqslant 12$时,$f(x) = 24 - 2x$,观察四个选项知D项符合要求.]

考点二 已知函数模型解决实际问题
例2(1)(2024·北京卷)生物丰富度指数$ d = \frac { S - 1 } { \ln N } $是河流水质的一个评价指标，其中$ S $，$ N $分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数。生物丰富度指数$ d $越大，水质越好。如果某河流治理前后的生物种类数$ S $没有变化，生物个体总数由$ N _ { 1 } $变为$ N _ { 2 } $，生物丰富度指数由$ 2.1 $提高到$ 3.15 $，则(D)

A.$ 3 N _ { 2 } = 2 N _ { 1 } $
B.$ 2 N _ { 2 } = 3 N _ { 1 } $
C.$ N _ { 2 } ^ { 2 } = N _ { 1 } ^ { 3 } $
D.$ N _ { 2 } ^ { 3 } = N _ { 1 } ^ { 2 } $

答案： 例2
(1)D [
(1)由题意,得$\frac{S - 1}{\ln N_{1}} = 2.1$,$\frac{S - 1}{\ln N_{2}} = 3.15$.若S不变,则$2.1\ln N_{1} = 3.15\ln N_{2}$,即$2\ln N_{1} = 3\ln N_{2}$,所以$N_{1}^{2} = N_{2}^{3}$.]

(2)(2025·福州调研)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的。在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为$ L = L _ { 0 } D ^ { \frac { G } { G _ { 0 } } } $，其中$ L $表示每一轮优化时使用的学习率，$ L _ { 0 } $表示初始学习率，$ D $表示衰减系数，$ G $表示训练迭代轮数，$ G _ { 0 } $表示衰减速度。已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为$ 0.5 $，衰减速度为$ 22 $，且当训练迭代轮数为$ 22 $时，学习率衰减到$ 0.45 $，则学习率衰减到$ 0.05 $以下所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：$ \lg 2 \approx 0.3010 $，$ \lg 3 \approx 0.4771 $) (D)

A.$ 11 $
B.$ 44 $
C.$ 227 $
D.$ 481$$$

答案： 例2
(2)D [
(2)因为$L = L_{0}D^{\frac{G}{G_{0}}}$,所以$L = 0.5 × D^{\frac{22}{G_{0}}}$,依题意得$0.45 = 0.5 × D^{\frac{22}{G_{0}}} \Rightarrow D = \frac{9}{10}$,则$L = 0.5 × (\frac{9}{10})^{\frac{G}{G_{0}}}$.由$L = 0.5 × (\frac{9}{10})^{\frac{G}{G_{0}}} ＜ 0.05$得$(\frac{9}{10})^{\frac{G}{G_{0}}} ＜ \frac{1}{10}$,两边取常用对数得$\lg(\frac{9}{10})^{\frac{G}{G_{0}}} ＜ \lg \frac{1}{10} \cdot \frac{G}{G_{0}} \cdot \lg \frac{9}{10} ＜ - 1$,$G \cdot (\lg 9 - \lg 10) ＜ - 22$,$G \cdot (\lg 10 - \lg 9) ＞ 22$（不等式两边同乘$- 1$,不等号改变方向）,$G ＞ \frac{22}{\lg 10 - \lg 9} = \frac{22}{1 - 2\lg 3} \approx \frac{22}{1 - 2 × 0.4771} \approx \frac{22}{0.0458} \approx 480.35$,所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.]