《2025年创新设计高考总复习数学浙江专版》

(1) (2025·东北三省三校模拟)已知函数 $ y = f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，且当 $ x ＜ 0 $ 时，$ f(x) = x^2 + \frac{a}{x} $，若 $ f(3) = -8 $，则 $ a = $ (B)

A.$ -3 $
B.$ 3 $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ -\frac{1}{3} $

答案： 训练2
(1)B [
(1)因为$f(x)$是奇函数，所以$f(3)=-f(-3)=-8$，故$f(-3)=(-3)^{2}+\frac{a}{-3}=8$，解得$a = 3$。]

(2) (2025·皖南八校联考)已知 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数，函数 $ g(x) $ 满足 $ g(x) + g(-x) = 0 $，且 $ f(x) $，$ g(x) $ 在 $ (-\infty, 0] $ 上单调递减，则 (C)

A.$ f(g(x)) $ 在 $[0, +\infty) $ 上单调递减
B.$ g(g(x)) $ 在 $ (-\infty, 0] $ 上单调递减
C.$ g(f(x)) $ 在 $[0, +\infty) $ 上单调递减
D.$ f(f(x)) $ 在 $ (-\infty, 0] $ 上单调递减

答案：
(2)C [
(2)由题意知$f(x)$在$(-\infty,0]$上单调递减，在$[0,+\infty)$上单调递增，$g(x)$为奇函数，在R上单调递减，且$g(0)=0$。
设$0\leq x_{1}＜x_{2}$，则$g(x_{2})＜g(x_{1})\leq0$，$f(g(x_{2}))＞f(g(x_{1}))$，所以$f(g(x))$在$[0,+\infty)$上单调递增，故A错误；
设$x_{1}＜x_{2}\leq0$，则$g(x_{1})＞g(x_{2})\geq0$，$g(g(x_{1}))＜g(g(x_{2}))$，$g(g(x))$在$(-\infty,0]$上单调递增，故B错误；
设$0\leq x_{1}＜x_{2}$，则$f(x_{1})＜f(x_{2})$，$g(f(x_{1}))＞g(f(x_{2}))$，所以$g(f(x))$在$[0,+\infty)$上单调递减，故C正确；
取$f(x)=x^{2}-1$，则$f(f(x))=(x^{2}-1)^{2}-1$，$f(f(0))=0$，$f(f(-1))=-1$，此时$f(f(x))$在$(-\infty,0]$上不单调递减，故D错误。]

(3) 函数 $ f(x) $ 是定义域为 $ \mathbf{R} $ 的奇函数，$ f(x) $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增，且 $ f(2) = 0$$$.则不等式 $ \frac{f(x) - 2f(-x)}{x} ＞ 0 $ 的解集为.

答案：

(3)$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$ [
(3)由于$f(x)$是定义域为R的奇函数，所以$f(0)=0$，又$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$f(2)=0$，所以$f(x)$的大致图象如图所示

由$f(-x)=-f(x)$可得$\frac{f(x)-2f(-x)}{x}=\frac{f(x)+2f(x)}{x}=\frac{3f(x)}{x}＞0$，由于$x$在分母位置，所以$x\neq0$，当$x＜0$时，只需$f(x)＜0$，由图象可知$x＜-2$；当$x＞0$时，只需$f(x)＞0$，由图象可知$x＞2$；综上，不等式的解集为$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$。]

考点三 函数的周期性及应用
例 4 (1) 若函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x + 2) = -f(x) $，且当 $ x \in [0,1] $ 时，$ f(x) = \frac{x}{4 - 2x} $，则 $ f(23) = $ (B)

A.$ -1 $
B.$ -\frac{1}{2} $
C.$ 0 $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 例4
(1)B [
(1)由$f(x + 2)=-f(x)$，可得$f(x + 4)=-f(x + 2)=f(x)$，所以$f(x)$是周期为4的周期函数，$f(23)=f(23 - 4×6)=f(-1)$。
因为$f(-1 + 2)=-f(-1)$，且当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\frac{x}{4 - 2x}$，所以$f(-1)=-f(1)=-\frac{1}{4 - 2×1}=-\frac{1}{2}$，故选B。]

(2) 设 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上周期为 4 的偶函数，且当 $ x \in [0,2] $ 时，$ f(x) = \log_2(x + 1) $，则函数 $ f(x) $ 在 $[2,4]$ 上的解析式为.$f(x)=\log_{2}(5 - x),x\in[2,4]$[(2)根据题意，设$x\in[2,4]$，则$x - 4\in[-2,0]$，则有$4 - x\in[0,2]$，又$x\in[0,2]$时，$f(x)=\log_{2}(x + 1)$，则$f(4 - x)=\log_{2}[(4 - x) + 1]=\log_{2}(5 - x)$，又$f(x)$为周期为4的偶函数，所以$f(x)=f(x - 4)=f(4 - x)=\log_{2}(5 - x),x\in[2,4]$，则有$f(x)=\log_{2}(5 - x),x\in[2,4]$。]

答案：
(2)$f(x)=\log_{2}(5 - x),x\in[2,4]$ [
(2)根据题意，设$x\in[2,4]$，则$x - 4\in[-2,0]$，则有$4 - x\in[0,2]$，又$x\in[0,2]$时，$f(x)=\log_{2}(x + 1)$，则$f(4 - x)=\log_{2}[(4 - x) + 1]=\log_{2}(5 - x)$，又$f(x)$为周期为4的偶函数，所以$f(x)=f(x - 4)=f(4 - x)=\log_{2}(5 - x),x\in[2,4]$，则有$f(x)=\log_{2}(5 - x),x\in[2,4]$。]

训练 3 (多选)(2025·青岛调研)已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数 $ f(x) $，其周期为 4，当 $ x \in [0,2] $ 时，$ f(x) = 2^x - 2 $，则 (AB)

A.$ f(2026) = 2 $
B.$ f(x) $ 的值域为 $[-1,2]$
C.$ f(x) $ 在 $[4,6]$ 上单调递减
D.$ f(x) $ 在 $[-6,6]$ 上有 8 个零点[训练3 AB [$f(2026)=f(506×4 + 2)=f(2)=2$，所以A正确；]当$x\in[0,2]$时，$f(x)=2^{x}-2$单调递增，所以当$x\in[0,2]$时，函数的值域为$[-1,2]$，由于函数是偶函数，所以函数的值域为$[-1,2]$，所以B正确；]当$x\in[0,2]$时，$f(x)=2^{x}-2$单调递增，又函数的周期是4，所以$f(x)$在$[4,6]$上单调递增，所以C错误；]令$f(x)=2^{x}-2 = 0$，所以$x = 1$，所以$f(1)=f(-1)=0$，由于函数的周期为4，所以$f(5)=f(-5)=0$，$f(3)=f(-3)=0$，所以$f(x)$在$[-6,6]$上有6个零点，所以D错误。]]

答案： 训练3 AB [$f(2026)=f(506×4 + 2)=f(2)=2$，所以A正确；
当$x\in[0,2]$时，$f(x)=2^{x}-2$单调递增，所以当$x\in[0,2]$时，函数的值域为$[-1,2]$，由于函数是偶函数，所以函数的值域为$[-1,2]$，所以B正确；
当$x\in[0,2]$时，$f(x)=2^{x}-2$单调递增，又函数的周期是4，所以$f(x)$在$[4,6]$上单调递增，所以C错误；
令$f(x)=2^{x}-2 = a$，所以$x = 1$，所以$f(1)=f(-1)=0$，由于函数的周期为4，所以$f(5)=f(-5)=0$，$f(3)=f(-3)=0$，所以$f(x)$在$[-6,6]$上有6个零点，所以D错误。]