《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1.如图1,∠EAF = 45°,AF交BC于F点,EM//AD交AF于M点,求EM的长.
　　　　　　　　

答案： 延长$CB$至$N$点，使$BN = DE$，连$EF$，$\therefore\triangle ADE\cong\triangle ABN$，$\therefore AE\perp AN$，$AE = AN$，$\therefore\triangle AEF\cong\triangle ANF\Rightarrow EF = FN$，设$BF=x$，$EF = 2 + x$，$\therefore(2 + x)^{2}=4^{2}+(6 - x)^{2}$，$\therefore x = 3$，$\therefore EF = 5$，又$\because\angle AFE=\angle AFB=\angle EMF\Rightarrow EM = EF = 5$。

2.如图2,点G在AB上,AE、DG相交于P点,∠APG = 45°,求DG的长.
　　　　　

答案： 过$A$点作$AF\perp AE$交$BC$于$F$点，由
(1)知$BF = 3$，$\triangle ADG\cong\triangle ABF$，$\therefore DG = AF=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=3\sqrt{5}$。

3.如图3,∠APB = 45°,点P在AE的延长线上,PB交CD于F点,则EF = ____.
　　　　　

答案： 作$BM\perp PA$交$AD$于$M$点，连接$MF$，$\therefore AM = DE = 2$，设$CF = x$，$MF = 2 + x$，$\therefore(2 + x)^{2}=4^{2}+(6 - x)^{2}$，$x = 3$，$\therefore EF = 1$。

4.如图4,点M在AD上,N点在BC上,MN交AE于P点,∠EPN = 45°,求MN的长.
　　　　　　　　

答案： 过$A$点作$AF// MN\Rightarrow\square AFNM\Rightarrow MN = AF$，$\angle EAF = 45^{\circ}$，由
(1)知$BF = 3$，$AF = 3\sqrt{5}=MN$。

5.如图5,点F在CB的延长线上,BF = DE,点M、N分别在AD、BC上,MN与EF相交于P点,∠MPE = 45°,求MN的长.
　　　　　

答案： 连接$AE$、$AF$，易证$\triangle ADE\cong\triangle ABF$，$\therefore AE = AF$，$\therefore AE\perp AF$，$\therefore\angle AEF = 45^{\circ}$，$\therefore MN\perp AE$，$\therefore MN// AF$，$\therefore\square AMNF$，$\therefore MN = AF = 2\sqrt{10}$。

6.如图6,点F在AD上,点H在BC上,DE = CH,AE与FH相交于P点,∠EPH = 45°,求PH的长.
　　　　　

答案： 连接$DH$交$AE$于$M$点，则$\triangle ADE\cong\triangle DCH$，$\therefore DH\perp AE$，由面积法知$DM=\frac{3}{5}\sqrt{10}$，$\therefore MH=\frac{7}{5}\sqrt{10}$，$\therefore PH=\frac{14}{5}\sqrt{5}$。