《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

类型一 由一次函数图象求面积
1.如图，已知直线$l_{1}:y = 4x - 2$与直线$l_{2}:y = -x + 13$交于点$A$，直线$l_{1}$和直线$l_{2}$分别交$x$轴于$B$，$C$两点，求$\triangle ABC$的面积.

答案： 过点A作AD⊥x轴，垂足为D，则$BC = 13 - \frac{1}{2} = 12\frac{1}{2}$。解方程组$\begin{cases}y = 4x - 2\\y = -x + 13\end{cases}$，得$AD = 10$。$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD = 62.5$。

类型二 由面积到坐标，注意割补法的运用
2.直线$y = -x + 4$与$x$轴、$y$轴交于$A$、$B$两点.
(1)点$P$在直线$AB$上，$S_{\triangle AOP}=2$，则$P$点坐标为____________________；
(2)$C(0,-1)$，点$P$在直线$AB$上，$S_{\triangle BCP}=5$，求$P$点坐标.

答案：
(1)$(3,1)$或$(5,-1)$；
(2)当点P在AC左侧时，$S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}\times5x_{P}=5$，$x_{P}=2$，$\therefore P(2,2)$；当点P在AC右侧时，$S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}\times5x_{P}=15$，$x_{P}=6$，$\therefore P(6,-2)$；综上$P(2,2)$或$(6,-2)$。

类型三 由面积关系求一次函数关系式
3.如图，$A(0,4)$，$C(-2,0)$，$D(-4,0)$，过$D$点的直线交$AC$于点$E$，交$y$轴于点$F$，若$S_{\triangle DCE}=S_{\triangle AEF}$，求$E$点的坐标.

答案： AC的解析式：$y = 2x + 4$，易证$S_{\triangle DOF}=S_{\triangle AOC}=4$，$\therefore F(0,2)$。DF的解析式：$y=\frac{1}{2}x + 2$，由$\begin{cases}y = 2x + 4\\y=\frac{1}{2}x + 2\end{cases}$得$\begin{cases}x = -\frac{4}{3}\\y=\frac{4}{3}\end{cases}$，$\therefore E(-\frac{4}{3},\frac{4}{3})$