《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

1.如图，Rt△ACB中，∠ACB = 90°，AC = BC，点P为平面内一点，PC = $\sqrt{2}$，PB = 3，求PA的最大值.
　　　

答案： 作$CM\perp CP$，且$CM = CP$，则$\triangle ACM\cong\triangle BCP$，$AM = PB = 3$，$PM = 2$，在$\triangle APM$中，$AP ＜ AM + MP$，当$A$、$M$、$P$三点共线时最大，$AP$最大值为$5$。

2.如图，Rt△ACB中，∠ACB = 90°，AC = BC，点P为平面内一点，AP⊥PB，且PB = 2，AP = 4，求PC的长.

答案： ①当$P$点与$C$点在$AB$同侧时，作$CE\perp CP$交$AP$于$E$点，$\therefore\triangle ACE\cong\triangle BCP$，$\therefore AE = PB = 2$，$CE = CP\Rightarrow PE = 2$，$CP=\sqrt{2}$；
②当$P$点与$C$点在$AB$异侧时，作$CE\perp CP$交$PA$延长线于$E$点，$\triangle CAE\cong\triangle CBP\Rightarrow CE = CP$，$AE = PB = 2$，$PE = 6$，$CP = 3\sqrt{2}$。
综上$PC$的长为$\sqrt{2}$或$3\sqrt{2}$。

3.如图，在△ACB中，AC = 4$\sqrt{2}$，AB = 6，∠CAB = 45°，CD⊥CB，且CD = CB，D点是BC右侧一点，求AD的长.
　　　

答案： 作$CE\perp AC$且$CE = AC$，则$\triangle CEB\cong\triangle CAD$，$BE = AD$，$\angle EAB = 90^{\circ}$，$AE = 8$，$\therefore AD = BE = 10$。

4.(2023·汉阳)如图，四边形ABCD中，∠ABC = ∠ADC = 90°，AD = CD，E点是B点关于CD所在直线的对称点，连接AE、CE、DE，若AB = 4，BC = 3，则AE的长为______.

答案： 延长$BA$至$M$，使$BC = AM$，$\triangle CDB\cong\triangle ADM$，$\therefore DM = BD$，$BD\perp DM$，连$CM$，$\therefore\triangle CDM\cong\triangle EDA\Rightarrow AE = CM=\sqrt{58}$。