《2025年思维新观察八年级数学下册人教版天津专版》

结论
(1)$\angle CAF=\angle BAE$；
(2)$\triangle ABE\cong\triangle ACF$；
(3)$\triangle ACE\cong\triangle ADF$.

答案：

结论
(1)$ME// AC$；
(2)$CE = AM$；
(3)$\triangle AEM\cong\triangle EFC$.

答案：

变式1.已知菱形ABCD中，$\angle BAD = 120^{\circ}$，E、F为射线BC和CD上一点，$\angle EAF = 60^{\circ}$.
(1)如图1，若点E、F分别为BC、CD的中点，直接写出BE、DF、AB之间的数量关系；
(2)如图2，若点E、F分别为边BC、CD上任一点，探究BE、DF、AB之间的数量关系；
(3)如图3，若点E、F分别在BC、CD的延长线上，探究BE、DF、AB之间的数量关系.
　　　　　 　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　A　DF
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
B　　　　E　c　　　　　　　　　B　　　　　CE
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　　　　图3

答案： 变式1.
(1)$BE + DF = AB$;
(2)连接$AC$,证$\triangle AEC\cong\triangle AFD$,$\therefore CE = DF$,$\therefore BE + DF = BE + CE = BC = AB$;
(3)连接$AC$,证$\angle CAE=\angle DAF$,$\because\angle EAF=\angle ECF = 60^{\circ}$,$\therefore\angle E=\angle F$,$\therefore\triangle ACE\cong\triangle ADF$,$\therefore CE = DF$,$\therefore BE - DF = BE - CE = BC = AB$.

变式2.如图，在菱形ABCD中，$\angle BAD = 60^{\circ}$，E、F分别在AB、BC上，$\angle DEF = 60^{\circ}$，求证：$\triangle DEF$为等边三角形.(用三种方法证明)
　　　　　

答案： 变式2.方法一:在$AD$上截取$AM = AE$,易证$\triangle DEM\cong\triangle EFB$,$\therefore DE = EF$,$\therefore\triangle DEF$为等边三角形;
方法二:连$BD$,在$BD$上取$BH = BE$;
方法三:连$BD$,作$EM\perp BD$于$M$,$EN\perp FB$的延长线于点$N$.